elparaiso.mat.uned.es

¡Pulsa Aquí!

LO DIJO...

Bertrand Rusell  
 
Las matemáticas poseen no solo la verdad, sino la suprema belleza, una belleza fría y austera, como una tumba.
 
El Paraíso de las Matemáticas - Juegos ~ El 7-5-3. Solución
.: Juegos :.
El 7-5-3. Solución

    La solución que se da aquí se aplica para una modalidad distinta de la que se planteó. En lo que sigue se sigue la regla de que el que retira la última cerilla es el que gana, en lugar de ser el que pierde (como se decía en el enunciado). En realidad, la idea de la solución es la misma. Al final se incluye una carta de José H. Nieto en la que se explica cómo aplicar esta solución al caso en el que el que quita la última cerilla pierde.    

    Yo tenía una respuesta a este problema, pero la que envió Pere Martir Antón Maynade es más completa de lo que yo esperaba, así que aquí está:

    "El problema que se plantea tiene una formulación aún más general.

    Se trata del mismo juego pero sin ninguna limitación en cuanto a cerillas, o sea que realmente se pueden tomar cuantas filas de cerillas se quieran y cuantas cerillas en cada fila, que el método para ganar es siempre el mismo. El juego, o como mínimo la versión que yo conozco se llama NIM y creo que viene de los antiguos Egipcios, que ya encontraron las solución ideal para ganar.

    El jugador que siempre gana es el que sigue este algoritmo:

    Una vez escogida la disposición de las cerillas, se transforman el número de cerillas de cada fila a binario y se disponen en una sola columna. Si seguimos el ejemplo del juego 7-5-3 seria así:

    3 cerillas -- 011
    5 cerillas -- 101
    7 cerillas -- 111

    Ahora lo que tiene que hacer el primer jugador es sumar cada columna de números cuantos 1's contiene y debe retirar tantas cerillas como sea necesario para conseguir que el numero de 1's en cada columna sea par.

    011 (3)
    101 (5)
    111 (7)
    -------- 
    223 (no cada cifra es par) 

    En este caso, debería retirar una cerilla de cualquier fila (por ej. la 3), y así quedaría :

    011 (3)
    101 (5)
    110 (6)
    ---------
    222 donde cada cifra es par

    La gracia del truco está en que:

    1) desde una posición de cifras impares se puede alcanzar un número par de 1's en cada columna

    2) una vez estamos en una situación par de 1's en cada columna es imposible quitar cerillas de una fila y mantener esa distribución.

    De esta manera cada vez que le toca retirar cerillas al segundo jugador se encuentra con que debe volver a un esquema de cerillas impares por columnas, y el primer jugador puede volver al esquema par por columnas hasta llegar por ejemplo a una situación tal que así:

    1 cerilla -----> 001
    0 cerillas-----> 000
    1 cerilla -----> 001

    (esquema par) ,en donde el jugador 2 debe quitar una y con lo que el jugador 1 ya ha ganado.

    Vamos a dar una posible partida del 7-5-3 siguiendo este organigrama: 

    3 cerillas -----> 011
    5 cerillas -----> 101
    7 cerillas -----> 111
                           ------
                            223
3) El primer jugador debe restablecer el esquema par y por tanto puede por ejemplo quitar 4 cerillas  de la 3 fila.

    3 cerillas ------> 011
    1 cerilla  -------> 001
    2 cerillas ------> 010
                              -----
                             022 (pares)
1) El jugador 1 quita 1 cerillas de
     la fila 3
         3 cerillas -------> 011
         5 cerillas -------> 101
         6 cerillas -------> 110
                                   ------
                                   222 (pares)
4) El jugador 2 quita 1 cerillas
    de la fila 1

    2 cerillas ------> 010
    1 cerilla  ------> 001
    2 cerillas ------> 010
                             -----
                             021 (impares)
2) El segundo jugador quita 4 cerillas de la fila 2 (por ejemplo, podría hacer cualquier otra cosa)

    3 cerillas ------> 011
    1 cerilla ------->  001
    6 cerillas ------> 110
                             ------
                              122
5) el jugador 1 quita 1 cerilla
    de la fila 2

    2 cerillas ------> 010
    0 cerillas ------> 000
    2 cerillas ------> 010
                              -----
                              020 (pares)

    Desde aquí el jugador 1 solo debe igualar la fila que no toque el jugador 2 y ya gana.

    El truco esta en que una vez un jugador se coloca en un esquema de cerillas par por columnas, ya no hay manera de que el otro pueda arrebatárselo.

    En una situación idílica, en la que los dos jugadores supieran el truco, ganaría aquel jugador que pudiera acceder a un esquema par de cerillas por columnas. Este jugador no tiene por que ser precisamente el que empiece primero ya que supongamos que al elegir el numero de cerillas y filas inicial, ya nos salga una distribución par por columnas... con lo que el juego se vuelve un juego de azar sobre la elección de las condiciones iniciales, que determinan el resultado del juego, y nos podríamos ahorrar los movimientos."

    En el caso del 7-5-3, es claro que el primer jugador siempre puede llegar a un esquema par en la primera jugada, con lo que puede ganar siempre. Le agradezco a Pere la respuesta.

Nota: Hay que hacer una ligera modificación a la respuesta anterior para poder aplicarla al juego tal y como se planteó el enunciado. José H. Nieto mandó esta aclaración:

    En realidad, hay dos modalidades en este juego. La más popular es "el que retire la última cerilla pierde", pero también se puede jugar a que "el que retire la última cerilla gana". La solución de Antón Maynade que apareció en el BMMI número 2 en realidad se aplica solamente a esta SEGUNDA modalidad, ya que el jugador que logre dejar un número par de unos en cada columna y lo siga haciendo hasta el final, evidentemente retirará la última cerilla.

    Por ejemplo si se llega a la posición 2-2 como en la partida ejemplo de Antón Maynade, si el jugador 2 quita una cerilla y el 1 restablece la paridad quitando una de la otra fila, entonces pierde! El 1, para ganar, debe abandonar la estrategia de restablecer paridad por columnas y eliminar la fila con dos cerillas, para obligar al jugador 2 a quitar la última.

    En general, para ganar en la primera modalidad, hay que aplicar la estrategia descrita por Antón Maynade pero SOLAMENTE MIENTRAS QUEDEN AL MENOS DOS FILAS CON MAS DE UNA CERILLA CADA UNA. En el momento en que quede una sola fila con más de una cerilla, digamos una fila con k>1 cerillas y n filas con una cerilla cada una, hay que modificar la estrategia del siguiente modo: 

    - si n es impar, eliminamos la fila de dos cerillas
    - si n es par, quitamos una cerilla de la fila que tiene dos.

    De esta manera dejamos a nuestro oponente un número impar de filas de una cerilla cada una, y lo obligamos a retirar la última. 

    Como ejemplo supongamos que comenzamos con 1-3-5-7 (esta es la configuración inicial más famosa, hasta apareció en el cine en la película "El año pasado en Marienbad", de Alan Resnais). La posición está perdida para el primer jugador, ya que al representar cada fila en binario hay número par de unos en cada columna:

    001
    011
    101
    111

    Sin embargo, si el jugador 1 es astuto no se dará por vencido, sino que quitará por ejemplo tres cerillas de la cuarta fila, dejando la configuración 1-3-5-4 y confiando en que su oponente se equivoque en la siguiente jugada. En efecto, la única jugada ganadora para 2 sería eliminar por completo la segunda fila. Si no lo hace y por ejemplo quita una de la segunda, dejando 1-2-5-4, el jugador 1 puede aprovechar la oportunidad y restablecer la paridad por columnas eliminando las dos de la segunda fila, dejando 1-0-5-4. Supongamos que ahora 2 quita 3 de la cuarta fila, dejando 1-0-5-1. Ahora 1 debe cambiar de estrategia, quitando 4 de la tercera fila para dejar 1-0-1-1, con lo cual gana.

Area On-Line
  Todo tipo de material, para disfrutar de él completamente On-Line, sin necesidad de descargar archivos ni tener que andar descomprimiendo estos. No te olvides de pasar por el Diccionario, y las secciones Origami y Geointeractiva. Son de lo más interesante.

Juegos

Problemas de matemáticas y/o lógica , y/o acertijos... o séase, cualquier cosa que obligue a exprimirse el coco

Viernes, 26 / 04 / 2019
   BUSCADOR
 

   TU CORREO
Usuario
Contraseña

   MATRACAS
Lista de correo gratuita
.: Chismes de Adán y Eva :.
Adios a Elisenda Fo...
WolframAlpha: El mo...
WIRIS para Mac...
Third CEU Summersch...
¡Más y más actualiz...
Cerca de 500 MB de ...
Ha llegado el momen...
WIRIS, matemáticas ...
El Universo Matemát...
Segundas Jornadas d...
Los Elementos de Eu...
VI Semana de la Cie...
Tras varios meses d...
¡Chiflados por los ...
Otro verano más, to...

 

Todos los derechos reservados. El Paraíso de las Matemáticas 2015Información Legal Política de PrivacidadAyudaEmail