Abel, Niels Henrik

Matemático noruego. Nació en la isla de Finoy (Rogaland Country) en el año 1802 y murió de tuberculosis en Arendal en 1829. Se le puede considerar uno de los más grandes matemáticos de todos los tiempos y ha sido llamado el segundo Newton. Estudió en la Universidad de Cristianía (la actual Oslo) y pasó un par de años en París y Berlín. Un año antes de su prematura muerte fue nombrado instructor de la Universidad y Escuela Militar de Cristianía. Sus trabajos abarcan temas de Teoría de las Funciones (Integrales, Inversión de Funciones Elípticas, Primera resolución de una ecuación integral) y Álgebra. Es autor de la noción de polinomio irreducible sobre un cuerpo y de la demostración de la imposibilidad de resolver ecuaciones algebraicas de quinto grado por medio de radicales. En honor de Abel se designan hoy como abelianas algunas clases de funciones y como abelianos algunos tipos de grupos.

Abel, Lema de

Sean una sucesión (a_n) de elementos de un espacio vectorial normado y completo E y un número complejo z₀ tales que la sucesión (z₀ⁿ a_n) esté acotada. Bajo estas condiciones el lema de Abel nos asegura que la serie entera å_{n = 0}^¥ z₀ⁿa_n en todo es absolutamente convergente en la bola abierta de centro 0 y de radio |z₀| y normalmente convergente conjunto compacto que esté contenido en esta bola.

Abel, regla de

Consideremos una sucesión (a_n) de números reales positivos y una sucesión (a_n) de elementos de un espacio vectorial normado y completo E. Si se cumplen las siguientes condiciones:

Entonces la serie å_{n = 0}^¥ a_n a_n converge y además para todo entero no negativo n se cumple la siguiente fórmula de acotación del resto:

Abel, teorema de

Sea una serie entera å_{n = 0}^¥zⁿa_n con radio de convergencia R > 0. Sea también z₀ un número complejo tal que la serie å_{n = 0}^¥z₀ⁿ a_n converge. Entonces para todo número real a Î [0,p/ 2], la aplicación

tiende a f(z₀) cuando z tiende a z₀ siempre que z quede dentro de la intersección de la bola cerrada de centro 0 y radio R y del sector angular definido por arg(-z₀)-a £ arg (z-z₀) £ arg(-z₀)+a .

abeliana, integral

Sea R(x,y) una función racional de dos variables y supongamos que y = f(x) (es decir, que la variable y es función de la variable x) y que existe una relación polinómica del tipo P(x,y) = 0 entre x e y. Entonces una primitiva de la restricción f_y(x) = R(x,y) se dice que es una integral abeliana. Las integrales elípticas y las hiperbólicas son casos particulares de integrales abelianas.

abeliano, grupo

Ver grupo conmutativo.

abierta, aplicación

Una aplicación f:E® F entre dos espacios topológicos E y F se dice abierta si la imagen por f de todo subconjunto abierto de E es un subconjunto abierto de F.

abierto

ver topología.

abscisa

ver cartesiano, sistema de referencia.

absoluto, valor

Sea A un anillo. Un valor absoluto es una aplicación de A en el conjunto de los números reales no negativos

que cumple las condiciones siguientes:

absurdo, demostración por reducción al

Es un tipo de prueba matemática que consiste en suponer la negación de la proposición a demostrar y deducir de tal suposición la veracidad de un enunciado Q y su negación no Q.

acción, ley de

Sean G y E dos conjuntos no vacíos. Una ley de acción de G sobre E o ley de composición externa sobre E es una aplicación de G×E en E.

acotada, medida

Supongamos que E es un espacio topológico localmente compacto y que m es una medida sobre E. Si tal medida es positiva y además la función constante e igual a 1 es m-integrable, entonces se dice que la medida está acotada. Si la medida m es real, diremos que está acotada si sus partes positiva y negativa lo están. En el caso de que la medida m sea compleja se dirá que es acotada si sus partes real e imaginaria lo son.

acotado

Un subconjunto A de un conjunto ordenado M se dice acotado si está mayorado y minorado. Una parte de un espacio vectorial normado se dice acotada si está contenida en alguna bola cerrada del espacio. Una aplicación f de un conjunto E en un conjunto ordenado M está acotada si su imagen f(E) es una parte acotada de M.

acumulación, punto de

Sea A un subconjunto de un espacio topológico E. Decimos que un punto xÎ E es de acumulación de A si todo entorno de x contiene puntos de A distintos del propio x.

adherente, punto

Sea A una parte de un espacio topológico E. Un punto x Î E es adherente a A si todo entorno de x tiene puntos de A. Obviamente, todo punto de acumulación es adherente pero lo recíproco no es cierto.

adición

Ley de composición interna en un conjunto E denotada por el símbolo +. Se suelen notar aditivamente sólo aquellas leyes que resulten asociativas y conmutativas.

aditiva, función

Una función f con valores reales y definida sobre un anillo de conjuntos es aditiva si para todo par (P,Q) de elementos disjuntos del anillo se cumple que f(P ÈQ) = f(P)+f(Q).

aditivo, monoide

Se dice del monoide cuya ley de composición es aditiva.

adjunta, matriz

Sea M una matriz de m filas y n columnas cuyos elementos son números complejos. La adjunta de M, notada por M^* es la matriz conjugada de la transpuesta de M (o la transpuesta de la conjugada que viene a ser lo mismo).

adyacentes, sucesiones

Una pareja de sucesiones de números reales ((a_n),(b_n)) es adyacente si una de ellas es creciente y la otra decreciente y su diferencia tiende a cero (es decir, ambas son convergentes y tienen el mismo límite).

afijo

Sea P un plano afín asociado al espacio vectorial E y con un sistema de referencia cartesiano (0,B), donde B es una base ortonormal de E. La aplicación que asocia a cada punto P del plano afín con coordenadas (x,y) el número complejo z = x+iy es una biyección de P sobre C. El complejo z es el afijo del punto P.

afín, aplicación

Sean E y F dos espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo K y sea A y B espacios afines asociados, respectivamente a E y F. Una aplicación f de A en B es una aplicación afín si existe una aplicación lineal l de E en F tal que para todo par de puntos (P,Q)Î A² se cumple l(P) l(Q) = l(P Q).

afín, espacio

Sea E un espacio vectorial sobre un cuerpo conmutativo K. Un conjunto no vacío A es un espacio afín asociado a E si existe una aplicaciónf de A×A en E tal que

afín, geometría

Estudio de los espacios afines y las variaciones lineales afines junto con los invariantes por el grupo afín.

afín, grupo

Los automorfismos de un espacio afín A forman un subgrupo del grupo de permutaciones de A llamado grupo afín de A.

afín, sistema de referencia

Sea A un espacio afín asociado al espacio vectorial E. Un sistema de referencia afín es toda familia (M_i)_{i ÎI} de puntos de A libres en sentido afín y además generador.

afín, variedad lineal

ver subespacio afín.

aislado, punto

Sea A una parte de un espacio topológico E. Un punto x Î A es aislado si es posible encontrar al menos un entorno dex que no tenga más puntos de P que el propio x.

alabeada, curva

Curva de un espacio afín tridimensional no contenida en ningún plano afín.

aleatoria, variable

Una función medible X con valores complejos y definida sobre un espacio probabilístico (W,A,P) se denomina variable aleatoria sobre W.

Alembert, Jean Le Rond d'

Matemático, filósofo y enciclopedista francés. Nació en París en 1717 y murió en esa misma ciudad en 1783. Estudio en la escuela Mazarin donde destacó en Matemáticas, Física y Astronomía. Sus trabajos se desarrollaron en estos campos: Cálculo integral, mecánica, derivadas parciales, solución analítica de la precesión de los equinocios.

Alembert, criterio de d'

Regla usada para investigar la convergencia de una serie numérica. Sea (a_n) una sucesión de números reales estrictamente positivos tal que el cociente [(a_n+1+1)/(a_n)] admite límite l cuando n tiende a infinito. Entonces si l < 1 la serie å_{n = 0}^¥ a_n converge y si l > 1 diverge.

Alexandrov, Pavel Sergeievich

Matemático ruso nacido en Bogorodsk (1896) y muerto en Moscú en 1982. Sus principales trabajos tratan sobre topología algebraica. Se le debe la noción de espacio compacto y también fue el primero que uso el término "núcleo de un homomorfismo".

Alexandrov, compactificación de

Ver compactificado

álgebra

Parte de las matemáticas que tiene por objeto el estudio de las estructuras algebraicas, independientemente de la noción de límite.

álgebra

Sea K un cuerpo conmutativo. Se llama álgebra sobre K a un espacio vectorial E sobre K en el que se ha definido una ley de composición interna multiplicativa que verifica las siguientes propiedades:

En el caso de que la ley multiplicativa sea asociativa se dice que el álgebra es asociativa (en este caso (E,+, ) es un anillo. Si la ley multiplicativa tiene elemento neutro se dirá que el álgebra es unitaria. Si es conmutativa el álgebra se llama conmutativa.

algebraica, clausura

Extensión de un cuerpo conmutativo que sea algebraica y algebraicamente cerrada.

algebraica, curva

ver algebraica, hipersuperficie.

algebraica, ecuación

Sea K un cuerpo conmutativo. Una ecuación algebraica con coeficientes en K es una ecuación de la forma f(x) = 0, donde f es una función polinomial de K en sí mismo.

algebraica, extensión

Una extensión L de un cuerpo conmutativo K se llama algebraica si todos los elementos de L son algebraicos sobre K.

algebraica, geometría

Estudio de los conjuntos y variedades algebraicas y los invariantes por el grupo de aplicaciones birracionales.

algebraica, hipersuperficie

Sea A un espacio afín asociado a un espacio vectorial E de dimensión finita sobre un cuerpo conmutativo K. Una hipersuperficie algebraica de A es todo ideal principal no trivial del anillo de las funciones polinómicas sobre A. Cuando la dimensión del espacio es 2 las hipersuperficies algebraicas se denominan curvas algebraicas.

algebraica, medida

Sea r una recta afín real y u un vector no nulo de r. Para todo par (P,Q) de puntos de r, el único número real l que cumple P Q = lu se llama medida algebraica de (P,Q).

algebraica, topología

La topología algebraica es una parte de la topología que tiene por objeto descubrir las propiedades de los espacios topológicos y hallar las condiciones necesarias para que dos espacios topológicos sean homeomorfos.

algebraico, conjunto

Sea K un cuerpo y sea Kⁿ el espacio vectorial de las n-tuplas de elementos de K sobre sí mismo. Una parte de Kⁿ es un conjunto algebraico si está formado por puntos (x₁,x₂,..., x_n) que anulan una familia finita de funciones polinomiales

algebraico, elemento

Un elemento a de un álgebra E asociativa y unitaria sobre un cuerpo K es algebraico sobre K si existe al menos un polinomio no nulo con coeficientes de K y tal que dicho polinomio se anula para a.

algebraico, entero

Número complejo que es entero sobre el subanillo Z de C.

algebraico, número

Elemento algebraico del cuerpo C de los números complejos considerado cono álgebra sobre el cuerpo de los racionales Q.

algoritmo

Procedimiento de cálculo.

alternada, aplicación p-lineal

Una aplicación p-lineal sobre un K-espacio vectorial E se denomina alternada si es nula para toda sucesión de p vectores que contenga dos vectores iguales.

alternada, serie

Serie de números reales cuyo término general es tal que existe una alternancia de signos positivo y negativo.

altura

Perpendicular a un lado de un triángulo pasando por el vértice opuesto a ese lado. Las tres alturas de un triángulo concurren en el ortocentro. Dícese también de la perpendicular a una cara de un tetraedro pasando por el vértice opuesto.

ampliada, recta numérica

véase numérica, recta.

análisis

El análisis es la parte de las matemáticas que usa los conceptos de sucesión, serie y función.

analítica, función

Sea K un cuerpo (donde K = R o C y sea n un entero positivo. Sea Kⁿ el espacio vectorial usual sobre el mismo cuerpo K. Una función f definida sobre un abierto U de un espacio normado y completo E y con valores en Kⁿ es analítica si para todo z₀ perteneciente a U, se puede desarrollar f como serie entera de (z-z₀) siendo convergente en un entorno de z₀.

analítica, geometría

Estudio de los conjuntos y las variedades analíticas, así como los invariantes por el grupo de isomorfismos analíticos.

analítico, isomorfismo

Aplicación biyectiva que es analítica con inversa también analítica.

angular, función

Sea f(t) aplicación continua de un intervalo I de R en el cuerpo de los números complejos. Existe una aplicación continua a de I en R tal que f(t) = e^{i a(t) a(t)}. Tal aplicación recibe el nombre de función angular asociada a f. Dos funciones angulares asociadas a la misma f difieren en un múltiplo de 2 p.

angular, sector

Sean (s₁,s₂) un par de semirrectas con origen comúnO en un plano euclidiano orientado. Sea a un número estrictamente positivo y sea b la medida principal del ángulo entre las dos semirrectas Ang (s₁,s₂). La unión de todas las semirrectas de origen O y tales que una medida del ángulo Ang (s₁,s₂) pertenece al intervalo [0,b] si b³ 0 y al intervalo [0,b+2a] si b < 0 es el sector angular de origen s₁ y extremos₂.

ángulo

Sea U el grupo multiplicativo de los complejos de módulo unidad. La aplicación f que a todo punto u Î U asocia la semirrecta d_u = f(u) de origen O que pasa por u es una biyección de U en el conjunto de las semirrectas del plano complejo con origen en O. Si notamos por D al conjunto de tales semirrectas y por D² al producto cartesiano de este conjunto por sí mismo, la relación binaria en D² definida por (d_u,d_v) º (d_u¢¢, d_v¢¢) si y sólo si ^u/_v = ^u'/_v' es una relación de equivalencia. Las clases de equivalencia de esta relación son los ángulos definidos por pares de semirrectas o simplemente ángulos.

anguloso, punto

Punto de un arco geométrico en donde existen semitangentes pero no tangentes.

anillo

Conjunto no vacío dotado de dos leyes de composición interna. Respecto a la primera, notada aditivamente, es un grupo abeliano, respecto a la segunda, notada multiplicativamente, es un monoide y la multiplicación es distributiva respecto de la adición. Si la multiplicación tiene elemento neutro (uno) se dice que el anillo es unitario. Si la multiplicación es conmutativa se dice que el anillo es abeliano o conmutativo.

antihermitiana, matriz

Matriz cuadrada de entradas complejas que es igual a la opuesta de su adjunta.

antiimagen

ver aplicación.

antimorfismo

Sean E y F dos magmas y sea f una aplicación de E en F. Se dice que f es un antimorfismo si se trata de un morfismo de E en el magma opuesto a F. La definición es análoga para monoides y grupos.

antisimétrica, aplicación

SeanE y F dos conjuntos y p un entero positivo. Una aplicación de E^p en F es antisimétrica si para toda permutación s de {1,2,...,p} y para toda sucesión (x₁,x₂, ..., x_p) de elementos de E^p se cumple que

donde e(s) es el signo de la permutación.

antisimétrica, matriz

Matriz cuadrada igual a la opuesta de su transpuesta.

antisimétrica, relación binaria

Relación binaria R en un conjunto E tal que para todo par (x,y) /in E se cumple que xR y e y R x implicanx = y.

anulador

Sea E un módulo sobre el anillo A. El anulador de una parte P Ì E es el conjunto de los elementos a del anillo A que verifican ax = 0 para todo xÎ P.

aplicable

Se dice que una superficie S es aplicable sobre otra superficie T si ambas son regulares de orden 1 y además existe un homeomorfismo f de S sobre T tal que se conservan las longitudes de los arcos trazados sobre S.

aplicación

Una aplicación o función es una terna f = (E,F,G), donde E y F son dos conjuntos no vacíos y G un subconjunto del producto cartesiano E ×F tal que para todo elemento x Î E existe un elemento y sólo uno y Î F tal que (x,y)Î G. El conjunto E recibe el nombre de dominio y el conjunto F el de codominio. El elemento único y correspondiente a x por la aplicación f se llama imagen o transformado por x por f y se nota mediante y = f(x). El conjunto de las imágenes de todos los xÎ E por f se denomina conjunto imagen y es una parte de F (eventualmente puede ser todo F). Sea y Î F, se llama antiimagen o imagen inversa de y a todo xÎ E tal que y = f(x).

Apolonio de Pérgamo

Matemático griego (Pérgamo circa 260 a.C., Alejandría, circa 200 a.C.). Su trabajo más conocido es el estudio y clasificación de las cónicas como secciones planas de conos de revolución. A él se le deben los nombres de hipérbola y elipse. Se le puede considerar uno de los fundadores de las Matemáticas

apotema

ver regular, polígono.

apoyo, recta de

Sea f una función convexa sobre un intervalo I de R. Se denomina recta de apoyo en un punto P del gráfico G de f a toda recta afín que pasa por P y está situada debajo de G.

aproximado, valor

Sean x un número real y e un número real estrictamente positivo. Se dice que a Î R es un valor aproximado de x si pertenece al intervalo (x-e,x+e).

arcoconexo

ver conexo.

argumento

Sea z un número complejo no nulo. Su argumento principal Arg z es el único valor real q perteneciente al intervalo ]-p, p] tal que

La clase de restos módulo 2 p del argumento principal Arg z se llama argumento de z y se nota por arg z.

arista

ver diedro, cara.

aritmética, sucesión

Una sucesión (a_n) de elementos de un anillo A es aritmética si es posible encontrar un elemento d Î A tal que a_n+1+1 = a_n + d para todo n. El valor d se denomina diferencia.

aritmético-geométrica, sucesión

Una sucesión (a_n) de elementos de un cuerpo conmutativo K es aritmético-geométrica si existe un par de elementos (r,d) de K tales que a_n+1+1 = r a_n+ d.

armónica, función

Una función f definida sobre un abierto U de Rⁿ con valores complejos es armónica si es dos veces continuamente diferenciable sobre U y su laplaciana es nula: df = 0.

Arquímedes

Matemático e inventor griego. Nació en Siracusa (en la actual Sicilia) en el 287 a. C. y murió en esa misma ciudad durante el saqueo de las tropas romanas en el 212 a. C. Sus trabajos anticipan muchos descubrimientos de la matemática moderna como el cálculo integral. También es autor de inventos tales como el tornillo sin fin, la polea compuesta, etc. Descubridor del principio de hidrostática que lleva su nombre.

Arquímedes, espiral de

Curva plana que admite la ecuación r = a q en coordenadas polares.

arquimediano, grupo

Un grupo conmutativo aditivo G totalmente ordenado se dice que es arquimediano si para todo elemento estrictamente positivo x Î G y todo elemento a Î G existe un natural n tal que a £ nx.

arquimediano, valor absoluto

Dados un anillo unitario A y su unidad e, se dice que un valor absoluto es arquimediano si el valor absoluto de ne tiende a ¥ cuando n tiende a ¥.

arreglo

Sinónimo de variación.

Artín, Emil

Uno de los más grandes matemáticos de este siglo. Nació en Viena en 1898 y murió en Hamburgo en 1962. Sus principales trabajos versan sobre álgebra conmutativa y teoría de números.

artiniano

Un módulo M es artiniano cuando toda sucesión decreciente de submódulos de M es estacionaria. En el caso de un anillo A diremos que es artiniano si considerado como A-módulo es artiniano.

Ascoli, Giulio

Matemático italiano (Trieste, 1843-Milán, 1896).

Ascoli, teorema de

Sea E un espacio compacto y F un espacio métrico y sea C(E,F) el espacio de las aplicaciones continuas de E en F dotado de la distancia de la convergencia uniforme. Para que una parte H de C(E,F) sea relativamente compacta, es necesario y suficiente que H sea equicontinuo y que para todo punto x Î E el conjunto de las imágenes dex por los elementos de H (los cuales son funciones) sea una parte relativamente compacta de F.

asíntota

ver asintótica, dirección.

asintótica, dirección

Sea f un arco parametrizado definido en el intervalo real I y sea t₀ un extremo del intervalo no perteneciente a éste. Si ||f(t)|| tiende a ¥ cuando t tiende a t₀ y si el cociente [(f(t))/( ||f(t)||)] tiende a un límite u cuando t tiende a ¥ se dice entonces que el arco parametrizado f admite por dirección asintótica la recta {lu}. En el caso de que la distancia de la recta afín de dirección marcada por u y que pasa por f(t) tienda a ¥ se dice que el arco parametrizado admite una rama parabólica en la dirección de u.

asociados, elementos

Dos elementos a y b de una anillo de integridad son asociados si a divide a b y b divide a a.

asociativo

Se dice que una ley de composición interna ^ sobre un conjunto E es asociativa si para todo x,y,z Î E se cumple (x ^y)^z = x ^(y ^z).

astroide

Ver hipocicloide.

autoadjunto

Una forma bilineal o sesquilineal se dice autoadjunta si es igual a su adjunta.

automorfismo

Sea E un magma, un monoide, un grupo, un anillo, un espacio vectorial o un álgebra. Los isomorfismos de E en sí mismo se denominan automorfismos.

axioma

Proposiciones que son puestas en el punto de partida de una teoría sin ser deducidas de otras proposiciones.