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El Paraíso de las Matemáticas - Juegos ~ El 7-5-3. Enunciado
.: Juegos :.
El 7-5-3. Enunciado

Por José A. Cañizo

    Es sorprendente que en los juegos en los que no interviene el azar como el ajedrez, el cuatro en raya o similares, deba haber siempre una estrategia perfecta para alguno de los dos jugadores de forma que si la siguiese, ganaría siempre sin importar lo que hiciera su contrario (o tal vez haría tablas, en el caso en que las reglas permitan empates). Un resultado así se puede demostrar en teoría de juegos, aplicable en juegos en los que hay un número finito de estados posibles. Por "estado" se entiende un conjunto de datos que especifican completamente la posición de una partida, de forma que si se dejase de jugar se pudiese continuar más tarde donde se dejó sólo con dichos datos. 

    En el caso del ajedrez, por ejemplo, está claro que las piezas sólo pueden estar colocadas sobre el tablero de un número determinado de formas posibles (y el resto de los datos que determinan el estado del juego, como por ejemplo si los jugadores han realizado un enroque en jugadas anteriores, se también puede especificar de forma finita); otra cosa muy distinta sería saber cuántas posiciones posibles hay, que son con seguridad un número intratable para cualquier propósito práctico. Lo bonito del resultado es que sabemos que hay una estrategia perfecta para alguno de los dos jugadores, aunque no tengamos ni idea de cuál es ni para cuál de los dos. 

    Hay juegos muy conocidos en los que sí se puede comprobar esto directamente. Por ejemplo, en el tres en raya, aunque el número de posiciones es grande, cualquiera que juegue unas cuantas veces se da cuenta de que el jugador que empieza siempre puede empatar al menos, y ganar si su adversario comete algún error. 

    En muchos otros juegos simples pasa lo mismo, como por ejemplo en éste, que es menos conocido. 

    Se toman quince cerillas y se colocan en tres filas de tres, cinco y siete cerillas respectivamente, de la forma siguiente:

    III

    IIIII

    IIIIIII

    Las reglas son sencillas: se juega por turnos después de acordar quién empieza, y en su turno cada jugador puede retirar tantas cerillas como desee, siempre que sean de la misma fila (y debe retirar por lo menos una). Pierde el jugador que retire la última cerilla. Por ejemplo, al comienzo de una partida, el que empieza podría quitar la fila de las siete cerillas completa. Luego, el siguiente podría quitar dos cerillas de la de cinco, luego el primer jugador quitar las tres que faltan de esa fila, y finalmente el segundo jugador quitar dos cerillas de la de tres, con lo que el primero pierde.

    Sabemos que uno de los dos jugadores tiene una estrategia perfecta para jugar, de forma que gana siempre. ¿Cuál de ellos es? ¿qué estrategia debe seguir?

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