Las aportaciones
de Sir Isaac Newton a la mecánica celeste están compendiadas
en su obra Philosophia Naturalis Principia Mathematica (Los principios
matemáticos de la filosofía natural, es decir, de
la física), que como sabemos, es sin duda una de las obras
más importantes que se registran en la historia de la ciencia.
En este tratado, compuesto por tres libros, literalmente Newton
sienta las bases de la física moderna.
Los Principia, como usualmente se
les llama, se han descrito a menudo como si fuera una "síntesis",
en especial de las tres leyes de Kepler sobre el movimiento planetario
y de las leyes de Galileo sobre la caída de los cuerpos y
el movimiento de proyectiles.
Fig.6 Primera ley de Kepler
1a. Ley de Kepler (~1605): Los planetas se mueven
alrededor del Sol en órbitas elípticas con el Sol
en uno de los focos.
Fig. 7 Segunda ley de Kepler
2a. Ley de Kepler (~1602): La línea que
une la posición de un planeta con el Sol barre áreas
iguales en tiempos iguales.
3a. Ley de Kepler (ley armónica, ~1619):
El cociente entre el cuadrado del periodo de la órbita
de un planeta y el cubo de su distancia media al Sol es una constante:
Pero en realidad, tal no es el caso:
de hecho, en los Principia se niega la validez de ambas teorías,
a menos que éstas sean modificadas de una manera profunda
y fundamental. Aunque no discutiré este importante punto
aquí, sí quiero sin embargo recalcar que, en definitiva,
constituyen un aporte de una jerarquía mucho mayor que una
simple síntesis.
Por otro lado, explicar cómo
es que Newton pudo escribir esta obra, especialmente en tan corto
plazo (unos 18 meses), es una empresa imposible y quizá en
el fondo inútil: un genio es un genio, y no hay mucha vuelta
de hoja. Sin embargo, la historia de como él llegó
a escribirla es un capítulo muy importante e interesante
dentro de la historia de la Ciencia.
Así pues, el propósito
de esta nota es relatar algunos aspectos en torno a la historia
de uno de los puntos principales contenidos en los Principia: la
ley de la Gravitación Universal.
Para entender el papel de Newton en
esta historia, empecemos por ubicar el ambiente de trabajo dentro
de la Royal Society de Londres hacia 1650. En aquel entonces, seguramente
por su gran talento, pero también por origen humilde, Robert
Hooke, funge como Curator (es decir, superintendente o custodio)
de la Sociedad, y se ve obligado a presentar semanalmente un trabajo
distinto (afortunadamente para él no necesariamente original),
misión que Hooke desempeñó durante 40 años
con atingencia. Semejante labor le fuerza a investigar cosas en
casi todas las ramas de la ciencia de su época, y en este
plan, entra en contacto y en cierto modo rivalidad con las mentes
más activas de su época, como Christian Huygens, así
como con un joven genio, de difícil carácter: Isaac
Newton.
Los primeros escarceos entre los dos
hombres ocurren por ahí de 1670, cuando Newton, que ha sido
nombrado miembro de la Royal Society por sus trabajos en óptica
y que favorece de algún modo una teoría corpuscular
de la luz, se ve en la posición de tener que contrastar sus
resultados con los de Hooke, quien defiende una teoría ondulatoria
(que aparentemente descubrió muy aparte de Huygens).
Este episodio conllevó, aparte
de algunos experimentos notables, como el descubrimiento (por Hooke!)
de los anillos de difracción de Newton y el célebre
experimentum crucis de Newton, donde éste demostró
que la luz blanca está compuesta de la superposición
de luces de distintos colores, mostrando así que el color
es una propiedad física de la luz, un claro distanciamiento
entre nuestros personajes.
Pero el caso es que algunos años
después de esta famosa controversia sobre la naturaleza de
la luz, el 24 de Noviembre de 1679 para ser precisos, Hooke escribió
una carta proponiendo a Newton colaborar en diversos temas, en particular
proponiéndole el problema de estudiar la atracción
de la Tierra sobre los objetos que caen libremente sobre ella. En
esta misma carta, Hooke expone además la hipótesis
de que la fuerza de atracción de la Tierra varía como
el inverso del cuadrado de la distancia del objeto al centro de
la Tierra, y ésta es la primera vez que aparece en la literatura
dicha hipótesis.
Newton no respondió directamente
a la invitación, pero a cambio propuso un par de experimentos
idealizados, uno de los cuales consistía en el movimiento
de un cuerpo en el interior de la Tierra (suponiendo que la fricción
no lo afectase), y concluyó que el movimiento sería
una especie de espiral, que rápidamente se cerraría
en el centro de la Tierra.
A ello, Hooke replicó que de
acuerdo a su teoría del cuadrado recíproco (audazmente
extrapolada al interior de la Tierra), el movimiento sería
una trayectoria parecida a una elipse y no como la descrita por
Newton, y a este refutamiento Newton respondió, un tanto
airado, que él en realidad no sabía como sería
la órbita.
(a)
(b)
Fig.8 Caída libre dentro de la Tierra, según
Newton (a) y según Hooke (b).
Quizá, juzgando la situación
a posteriori, la explicación de esta actitud de Newton es
que en ese momento, aún aceptando que él ya supiera
la ley del cuadrado recíproco, cosa que no es del todo clara
como veremos, carecía de medios para calcular la atracción
gravitatoria de objetos no puntuales, y era sensiblemente más
cuidadoso que Hooke en sus afirmaciones.
Pero en todo caso, la puerta para
la controversia sobre la paternidad de la ley de la Gravitación
Universal estaba abierta.
Es un hecho bastante bien documentado
que las primeras consideraciones escritas por Newton sobre esta
ley se encuentran en su trabajo, De Motu corporum (Sobre el movimiento
de los cuerpos), que fue escrito no antes de 1684, y en el que de
hecho se encuentra el germen de los Principia, ya que la primera
sección de aquella obra devino en el primer libro y partes
del segundo de ésta, en tanto que la segunda parte es una
especie de versión expositoria del libro III de los Principia.
Parece ser que De Motu Corporum fue
escrito por Newton a raíz de una visita que recibiera de
su colega, amigo y gran astrónomo, Sir Edmund Halley, pero
ciertamente también bajo la insistencia de Hooke, quien le
presionaba para que escribiera sus resultados en materia de gravitación.
El punto es que ni Hooke ni Halley poseían la habilidad matemática
para resolver las ecuaciones dinámicas y determinar las órbitas,
pero esperaban que "el excelente método" de Newton
resolviera el problema. Pero, con justa razón, pues es también
bastante claro que él había aportado varias ideas
en el transcurso de sus discusiones con Newton, Hooke esperaba también
que Newton le diera algo del crédito.
Sin duda, una de las razones más
importantes por las que Hooke sí merece cierto crédito
es que existe una clara evidencia de que fue él quien mostró
a Newton cómo tratar a las fuerzas en sus componentes radial
(centrípeta) y tangencial (centrífuga). Newton, hasta
antes de esto, pensaba, como la mayoría de sus contemporáneos,
en términos de fuerzas centrífugas, idea que se había
originado con los "vórtices" con los que Descartes
trató de explicar el movimiento planetario. Esta estrategia
de descomposición de las fuerzas fue fundamental en el desarrollo
posterior de las ideas de Newton, pues le permitió dar un
paso clave en la comprensión de la importancia de la ley
de las áreas de Kepler.
La esencia del argumento es como sigue:
Fig.9 Atracción central en el punto P
si consideramos una partícula que se desplaza
con rapidez constante de A a D, como en la figura, donde AB=BC=CD=CD',
y DD' es paralela a PC, entonces:
área PAB=área PBC= área PCD.
En efecto, el movimiento entre los
puntos A y C es un movimiento uniforme y evidentemente las áreas
de los dos primeros triángulos son iguales. Mediante un sencillo
argumento geométrico, que invitamos al lector a tratar de
reproducir, Newton probó que como DD' es paralela a PC, entonces
PCD también tiene la misma área. Pero, físicamente,
esto corresponde a que en C la partícula experimenta un "impulso
instantáneo" en dirección del punto P, que actúa
entonces como un centro de atracción. Esta igualdad de las
áreas de los triángulos finitos fue entonces extrapolada
por Newton a triángulos infinitesimales, para concluir que
cualquier fuerza central produciría una "ley de áreas"
y, en particular en el caso Kepleriano, la ley de las áreas
resulta en efecto de la naturaleza central de la fuerza de gravedad.
Pero, además, yendo en la otra
dirección, una vez entendida la naturaleza central de la
fuerza de gravedad (nombre que por cierto se debe al propio Newton),
la ley del cuadrado recíproco resulta fácilmente de
la ley armónica de Kepler, junto con la fórmula de
aceleración centrípeta. Esta última fue probablemente
descubierta por Huygens, pero en todo caso, seguramente era bien
conocida tanto de Hooke como de Newton. El argumento, que es realmente
elemental si hacemos la simplificación de tratar al movimiento
como circular uniforme, es esencialmente como sigue: si f es la
fuerza, m la masa, r el radio de la órbita y t el período
de revolución, entonces:
y como es
constante, se tiene la relación deseada.
Por otra parte, tal como pensaban
Halley y Hooke, las técnicas de Newton le permitieron a éste
fácilmente recuperar, a partir de la ley de la Gravitación
Universal, las tres leyes de Kepler. De hecho, la segunda ley, como
hemos visto, resulta de la naturaleza central de la fuerza de gravedad,
en tanto que se puede probar, y es un ejercicio estándar
de cálculo, que la ley del cuadrado recíproco es en
cierto modo equivalente a que las trayectorias sean elipses (o cónicas,
más generalmente), lo que da la primera y tercera leyes de
Kepler (1).
Pero el caso es que ni en De Motu,
ni años después cuando, de nuevo por iniciativa de
Halley, Newton publicó la primera edición de los Principia,
hizo Newton referencia a Hooke, con la evidente molestia de éste,
pero también de Halley, quien sí apreciaba a Hooke.
De hecho, Halley logró convencer a Newton de que citara a
Hooke en ediciones posteriores de los Principia pero, algo mañosamente,
éste lo citó junto con los nombres del propio Halley
y de otro astrónomo, Christopher Wren, minimizando así
el papel de Hooke en el proceso.
Para tratar de fundamentar su caso sobre este delicado
tema de prioridades, Newton esgrimió distintos argumentos
en diversas ocasiones: por ejemplo, en alguna ocasión Newton
escribió que "con la ayuda de mi método de "Quadraturas",
encontré la demostración de las proposiciones de Kepler
de que los planetas giran alrededor del Sol en órbitas elípticas
describiendo áreas proporcionales a los tiempos", o
en otra parte, "mediante el método inverso de fluxiones
encontré en 1677 la demostración de la Proposición
Astronómica de Kepler".
Sin duda, parte del problema es que
Newton estuvo a lo largo de su vida muy preocupado por mantener
la primacía en todo, y por ello estas aseveraciones hay que
tomarlas con un buen grano de sal, pues están inmersas en
el agitado remolino de sus disputas con Hooke sobre la concepción
de la "Ley del cuadrado recíproco". A título
anecdótico, y también como una ilustración
de la personalidad de Newton, la historia de que la ley de la Gravitación
Universal viniera a su mente al observar la caída de una
manzana proviene de Newton mismo, y fue propalada en Europa a raíz
de una visita que le hiciera Voltaire cuando Newton vivía
con su sobrina Catherine Barton, ama de llaves de Lord Montague-Halifax,
protector y amigo de Newton. (Por cierto que Catherine debió
ser una notable mujer, tanto intelectual como físicamente,
pues Voltaire, no sin malicia, afirmaba que la fama de Newton se
debía no a la Ley de Gravitación Universal, sino a
la belleza de su sobrina.) Y Sin embargo, I. B. Cohen, uno de los
principales historiadores de Newton de la actualidad, afirma que
es muy poco probable que Newton haya concebido cualquier idea original
respecto a la forma explícita de la Ley de la Gravitación
Universal antes de 1684, cuando escribió De Motu; es decir,
claramente después de que la idea fuera sugerida por Hooke.
Pero el punto clave es justamente
que, aunque sea comprensible la pasión que se generó
en torno a quién fue el autor de la ley del cuadrado recíproco,
el hecho es que la importancia de la contribución newtoniana
en este asunto no radica tanto en darse cuenta de la forma explícita
de la Ley de la Gravitación Universal, sino precisamente
en que Newton a diferencia de Hooke al momento de escribir los Principia,
había comprendido perfectamente el sentido universal de esta
ley. Esta es la verdadera aportación de Newton al problema.
Así, dejando un poco de lado
la cuestión polémica, fue esta revaloración
de la naturaleza de la ley del cuadrado recíproco por parte
de Newton, aunada por supuesto a su dominio del cálculo integral,
lo que le permitió ensamblar la última parte del rompecabezas:
Calcular las fuerzas gravitacionales producidas por una esfera,
cuya densidad es función del radio. (Y aquí es importante
notar que la necesidad misma de dar estas justificaciones escapó
a Hooke, lo que muestra que éste no había alcanzado
una comprensión cabal del problema y pone en perspectiva
las aportaciones relativas de ambos.)
Para el campo de fuerzas en el exterior
de una esfera con estas características, Newton probó
que efectivamente, éste se comporta como si la masa estuviera
concentrada en el centro de la esfera. Esto, aunque algo engorroso,
es también un ejercicio más o menos estándar
de cálculo que no haré aquí; pero, a título
de ilustración, veamos el sencillo argumento que permitió
a Newton concluir que el campo en el interior de la esfera es cero:
En la situación de la figura,
consideramos una "cáscara" esférica muy
delgada, un punto P en el interior de la esfera y dos conos con
vértice en P, cuyo ángulo sólido también
suponemos muy pequeño. Para cada cono, el área subtendida
sobre las esferas que encierran la cáscara es aproximadamente
la misma para las dos esferas y es, en la aproximación lineal,
proporcional al cuadrado de las alturas de los conos, que denotamos
r y R respectivamente.
Fig.10 Atracción gravitacional en el interior
de una esfera.
De este modo, la masa encerrada en
las regiones A y B que se obtienen al intersectar los conos con
la cáscara esférica es proporcional a r² y R²
respectivamente. Pero entonces, como las fuerzas ejercidas en P
por las masas en A y B se han reducido en las razones 1/r²
y 1/R² respectivamente, en esta misma aproximación lineal
la fuerza neta ejercida sobre P es cero. (De hecho, hablando en
lenguaje moderno, en el límite, cuando el espesor de la cáscara
y los ángulos sólidos, se hacen cero, se da la igualdad
estricta de las fuerzas.)
Un capítulo aparte de nuestro
relato, es la combinación de la Ley de la Gravitación
Universal con la tercera ley de la mecánica, el llamado principio
de acción y reacción, cuya concepción por parte
de Newton, por cierto, parece estar también ligada al mismo
proceso que lo condujo a concluir la ley de gravitación.
Entre otras cosas, este notable logro
de Newton constituye el fundamento de toda la teoría de perturbaciones
de los movimientos planetarios, labor en la que él mismo
contribuyó ampliamente durante los años 1690's. Pero
además, esto nos lleva a su vez a lo que quizá sea
la contribución más importante de Newton a las matemáticas:
la teoría de las funciones analíticas. (Vale la pena
recalcar que esta teoría constituye también un lazo
que une a Newton con algunos de sus más distinguidos seguidores,
entre los que podemos citar a Laplace y Poincaré, por la
asombrosa variedad y riqueza de usos y aplicaciones que supieron
darle.)
Y es que en efecto, Newton influyó
en las matemáticas de muchas y variadas maneras, pero pocas
tan ricas como la indisoluble amalgama del "cálculo
fluxional" y la teoría de las series infinitas, en lo
que él llamó "el método analítico",
o como más tarde se le llamó, la teoría de
las funciones analíticas; es decir, el método analítico
es el estudio de las funciones escritas como series infinitas de
potencias, generalizando así enormemente la posibilidad de
estudiar las funciones con técnicas algebraicas, como si
fueran polinomios de grado infinito. (Por cierto, que Newton haya
tenido la idea de combinar ambas cosas seguramente no fue simple
coincidencia, pues a este respecto cabe decir que dos de las más
importantes influencias iniciales en la actividad matemática
de Newton fueron respectivamente, La Géometrie de Descartes,
y La Arithmetica Infinitorum de Wallis.)
Probablemente el pináculo de
sus logros en la materia haya sido su célebre teorema del
binomio, pero en realidad, Newton obtuvo los desarrollos de todas
las funciones "elementales" del análisis como series
de Taylor, bastante antes de que Taylor escribiera cualquier cosa
sobre el tema. (Incluso, fiel a sí mismo, Newton se apresuró
a escribir sus cálculos sobre los logaritmos antes que Mercator,
pues como ya hemos comentado, era marcadamente celoso de su posición
de pionero, y a lo largo de su vida, buena parte de sus energías
se fueron en controversias con otros científicos por la paternidad
de resultados.) Así en definitiva, en vista de lo que la
idea de función significa en su época, no es muy exagerado
decir que Newton "conocía todas las funciones",
y esta influencia newtoniana de identificar con series de potencias
perduró hasta bien entrado el siglo XIX en que, a raíz
de las manipulaciones de las series trigonométricas que hizo
Fourier, resultó patente que se necesitaba una definición
más precisa del concepto de función.
Y sin embargo -y a pesar de que obviamente
muchos de los resultados incluidos en los Principia son de naturaleza
analítica, e incluso las primeras proposiciones están
destinadas a la manipulación de límites-, resulta
curioso observar que el espíritu en que están redactados
los Principia no obedece a estas influencias analíticas.
Todo lo contrario, Newton escribió sus argumentos en términos
sintéticos y casi exclusivamente geométricos, virtualmente
en el espíritu de la geometría clásica de los
griegos, lo que es tanto más curioso cuanto que Newton, en
sus inicios, desconocía ésta y se vio forzado a estudiarla
a instancias de su profesor, Isaac Barrow.
De hecho, aparentemente aún
hoy siguen abiertas las discusiones de hasta qué punto algunos
de los resultados analíticos de los Principia fueron, o no,
efectivamente obtenidos con auxilio de las técnicas analíticas.
Así por ejemplo, como hemos dicho anteriormente, Newton mismo
afirma contundentemente que sí las utilizó cuando
escribió que gracias a su método de "Quadraturas",
encontró la demostración de las proposiciones de Kepler;
pero al mismo tiempo, resulta altamente significativo que en ninguna
parte dentro de los Principia (y en ningún otro de sus manuscritos
al que se tenga acceso) haya escrito Newton las ecuaciones de la
dinámica como fluxiones -cosa que haría Maclaurin
más tarde-, lo que hubiera sido en cierto modo el paso natural
para estudiar el movimiento a través del método analítico.
Y podemos citar otros ejemplos: La forma funcional de las leyes
de Newton, esto es, como describiendo relaciones entre funciones,
no se debe a Newton; fue originalmente publicada por Varignon en
los Mémoires de la Academia de París en 1700. Similarmente,
la segunda ley de Newton, en la forma de la ecuación diferencial
que hoy nos es tan familiar, fue explícitamente escrita por
vez primera en la Phoronimia de J. Hermann en 1716.
Todo esto parece dar una cierta aura
de misterio a esta historia, pero quizá pese a todo lo que
hemos dicho aquí sobre su carácter, Newton simplemente
prefirió no entrar en las controversias sobre los fluxiones,
esos "fantasmas de cantidades que desaparecen" como les
llamaba el obispo Berkeley, dejándonos a las generaciones
posteriores la tarea de desentrañar el sentido de cosas que
él escribió, y que su genio le permitió ver
sólo a él. |