Se han recibido pocas respuestas
a este problema, y ninguna era totalmente correcta, aunque en
algún caso se debía a una cierta ambigüedad en el enunciado. Debo
aclarar que en la segunda pregunta las jugadoras tan sólo debían
responder "sí" o "no" si conocían su propio número o no, respectivamente,
y NO decir, por ejemplo, "¿tengo el 99?". El árbitro no contesta
nada, es sólo un observador.
Bien; aclarado eso, veamos
las respuestas:
Respuesta a la primera pregunta
Juan Fernández envía la siguiente respuesta:
"La respuesta del primero
no le sirve al tercero directamente, sino al segundo que puede
saber su color de sombrero o no pero al responder los dos que
no el tercero sabe cual es el color de su sombrero. En el caso
dado, en el caso de que no le preguntasen al primero, el segundo
sabía que el primero no sabía su color y él diría que no lo sabría
ya que en este caso la respuesta del primero no influye para la
contestación del segundo. Pero entonces al tercero le quedaría
la duda de que si le hubiesen preguntado al primero, el segundo
sabría el color o no, por lo tanto es necesario preguntarle."
Y Claudia Rojas Martínez
observa que "preguntándole al primer jugador, le damos pistas
al otro para saber la respuesta correcta". Explicado de otra forma,
lo que pasa es que antes de empezar todos los jugadores saben
que el primero dirá "no", pero ninguno de los dos sabe que el
otro lo sabe. En efecto, desde el punto de vista del tercer jugador,
es posible que él lleve un sombrero rojo, y entonces el segundo
jugador, que no sabe si su propio sombrero es también rojo, cree
posible que el primer jugador vea dos sombreros rojos y diga directamente
"sí". Sin embargo, cuando el primero habla y dice "no", el tercer
jugador sabe que el segundo jugador sabe que los sombreros del
segundo y el tercero no son ambos rojos, y es esta información
la que le permite deducir la respuesta cuando el segundo jugador
dice "no". El punto importante es que aunque el tercero sabe que
los sombreros segundo y tercero no son ambos rojos (porque él
ve uno negro), no sabe si el segundo lo sabe.
Respuesta a la segunda pregunta
Nadie ha enviado una respuesta completa
a este problema, aunque Juan Fernández se acerca mucho. La solución
es que la jugadora que tiene el 100 acabará adivinándolo al cabo
de 99 preguntas (en total: 50 preguntas para la del 100 y 49 para
la del 99). La demostración menos confusa que conozco (y que tampoco
acaba de ser del todo rigurosa) usa el método de inducción; aquél
que no lo conozca puede pulsar este
enlace para ver una explicación
breve de en qué consiste.
Bien:
la afirmación que queremos demostrar es la siguiente (escrita
como dos afirmaciones juntas):
"Si
el jugador al que se pregunta primero tiene un número par n, y
su oponente lleva el número inmediatamente inferior, el primer
jugador acabará sabiendo su número al cabo de n-1 preguntas. De
la misma forma, si el primer jugador tiene un número par n y su
contrario lleva el inmediatamente superior, éste sabrá su número
al cabo de n preguntas."
Por
supuesto, la respuesta al problema se obtiene para n = 100 (en
realidad, sólo nos interesaba la primera de las anteriores afirmaciones,
pero las dos juntas son más fáciles de probar, como se verá luego).
Para hacerse una idea de la demostración, es práctico pensar primero
en algunos casos fáciles, con números bajos, como por ejemplo
el caso en que los jugadores llevan el 4 y el 3, y seguir los
razonamientos de cada uno. Con número mayores empieza a ser un
verdadero lío pensar así, y se entra en razonamientos del tipo
de "...entonces él cree que él cree que él cree que lleva un 98...".
Entonces resulta más claro razonar por inducción.
Empecemos:
Para cualquiera de las dos afirmaciones, el primer caso es fácil.
Si llevan el 2 y el 1, el jugador del 2 lo adivina a la primera
pregunta, y si llevan el 2 y el 3, es fácil ver que el del 3 conoce
su número al cabo de dos preguntas.
Ahora,
probemos las dos afirmaciones para un número n par, suponiéndolas
ciertas para n-2 (aunque en la inducción se suele suponer para
n-1, ponemos n-2 porque son afirmaciones sobre todos los número
pares). Si un jugador tiene el número n en su frente y ve el n-1
en la de su compañero, dudará si él lleva el n-2 o el n; si llevase
el n-2, usando nuestra suposición de que la segunda afirmación
se cumple para n-2, su contrario adivinaría la respuesta al cabo
de n-2 preguntas. Como eso no ocurrirá, el primer jugador sabrá
al cabo de n-2 preguntas que su número no es el n-2, luego debe
ser el n, y lo dirá en la siguiente pregunta, la n-1.
La segunda afirmación
se demuestra de forma parecida: si un jugador lleva el número
n (par) y ve el n+1 en su contrario, su contrario pensará: "yo
llevo el n-1 o el n+1". Si llevase el n-1, usando la primera afirmación
para n (que ya hemos probado), el primer jugador adivinaría la
respuesta a las n-1 preguntas. Cuando esto no pasa, el segundo
jugador deduce que su número es el n+1 en la pregunta siguiente,
la n, y con esto hemos terminado.
