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El Paraíso de las Matemáticas - Juegos ~ Sombreros de colores. Solución
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Sombreros de colores. Solución

    Se han recibido pocas respuestas a este problema, y ninguna era totalmente correcta, aunque en algún caso se debía a una cierta ambigüedad en el enunciado. Debo aclarar que en la segunda pregunta las jugadoras tan sólo debían responder "sí" o "no" si conocían su propio número o no, respectivamente, y NO decir, por ejemplo, "¿tengo el 99?". El árbitro no contesta nada, es sólo un observador.

    Bien; aclarado eso, veamos las respuestas:

Respuesta a la primera pregunta

    Juan Fernández envía la siguiente respuesta:

     "La respuesta del primero no le sirve al tercero directamente, sino al segundo que puede saber su color de sombrero o no pero al responder los dos que no el tercero sabe cual es el color de su sombrero. En el caso dado, en el caso de que no le preguntasen al primero, el segundo sabía que el primero no sabía su color y él diría que no lo sabría ya que en este caso la respuesta del primero no influye para la contestación del segundo. Pero entonces al tercero le quedaría la duda de que si le hubiesen preguntado al primero, el segundo sabría el color o no, por lo tanto es necesario preguntarle."

    Y Claudia Rojas Martínez observa que "preguntándole al primer jugador, le damos pistas al otro para saber la respuesta correcta". Explicado de otra forma, lo que pasa es que antes de empezar todos los jugadores saben que el primero dirá "no", pero ninguno de los dos sabe que el otro lo sabe. En efecto, desde el punto de vista del tercer jugador, es posible que él lleve un sombrero rojo, y entonces el segundo jugador, que no sabe si su propio sombrero es también rojo, cree posible que el primer jugador vea dos sombreros rojos y diga directamente "sí". Sin embargo, cuando el primero habla y dice "no", el tercer jugador sabe que el segundo jugador sabe que los sombreros del segundo y el tercero no son ambos rojos, y es esta información la que le permite deducir la respuesta cuando el segundo jugador dice "no". El punto importante es que aunque el tercero sabe que los sombreros segundo y tercero no son ambos rojos (porque él ve uno negro), no sabe si el segundo lo sabe. 

Respuesta a la segunda pregunta

    Nadie ha enviado una respuesta completa a este problema, aunque Juan Fernández se acerca mucho. La solución es que la jugadora que tiene el 100 acabará adivinándolo al cabo de 99 preguntas (en total: 50 preguntas para la del 100 y 49 para la del 99). La demostración menos confusa que conozco (y que tampoco acaba de ser del todo rigurosa) usa el método de inducción; aquél que no lo conozca puede pulsar este enlace para ver una explicación breve de en qué consiste.

    Bien: la afirmación que queremos demostrar es la siguiente (escrita como dos afirmaciones juntas):

    "Si el jugador al que se pregunta primero tiene un número par n, y su oponente lleva el número inmediatamente inferior, el primer jugador acabará sabiendo su número al cabo de n-1 preguntas. De la misma forma, si el primer jugador tiene un número par n y su contrario lleva el inmediatamente superior, éste sabrá su número al cabo de n preguntas."

    Por supuesto, la respuesta al problema se obtiene para n = 100 (en realidad, sólo nos interesaba la primera de las anteriores afirmaciones, pero las dos juntas son más fáciles de probar, como se verá luego). Para hacerse una idea de la demostración, es práctico pensar primero en algunos casos fáciles, con números bajos, como por ejemplo el caso en que los jugadores llevan el 4 y el 3, y seguir los razonamientos de cada uno. Con número mayores empieza a ser un verdadero lío pensar así, y se entra en razonamientos del tipo de "...entonces él cree que él cree que él cree que lleva un 98...". Entonces resulta más claro razonar por inducción.

    Empecemos: Para cualquiera de las dos afirmaciones, el primer caso es fácil. Si llevan el 2 y el 1, el jugador del 2 lo adivina a la primera pregunta, y si llevan el 2 y el 3, es fácil ver que el del 3 conoce su número al cabo de dos preguntas.

    Ahora, probemos las dos afirmaciones para un número n par, suponiéndolas ciertas para n-2 (aunque en la inducción se suele suponer para n-1, ponemos n-2 porque son afirmaciones sobre todos los número pares). Si un jugador tiene el número n en su frente y ve el n-1 en la de su compañero, dudará si él lleva el n-2 o el n; si llevase el n-2, usando nuestra suposición de que la segunda afirmación se cumple para n-2, su contrario adivinaría la respuesta al cabo de n-2 preguntas. Como eso no ocurrirá, el primer jugador sabrá al cabo de n-2 preguntas que su número no es el n-2, luego debe ser el n, y lo dirá en la siguiente pregunta, la n-1.

    La segunda afirmación se demuestra de forma parecida: si un jugador lleva el número n (par) y ve el n+1 en su contrario, su contrario pensará: "yo llevo el n-1 o el n+1". Si llevase el n-1, usando la primera afirmación para n (que ya hemos probado), el primer jugador adivinaría la respuesta a las n-1 preguntas. Cuando esto no pasa, el segundo jugador deduce que su número es el n+1 en la pregunta siguiente, la n, y con esto hemos terminado.

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