Por José A. Cañizo

    Me encontré hace poco casi sin querer un problema de ésos que tienen una solución que parece evidente y que, sin embargo, no es fácil de probar. De hecho, recuerdo que lo usé en algo que estaba haciendo pensando que ya lo probaría más tarde, porque tenía pinta de ser fácil... ya. No lo es, o por lo menos no es tan directo como parece.

    Antes de enunciar el problema, explicaré lo que es el diámetro de un conjunto. Supongamos que tenemos un subconjunto cualquiera del plano, es decir, una figura cualquiera. Su diámetro es, de forma precisa, el supremo de las distancias entre dos puntos cualesquiera del subconjunto en caso de que éste exista, e infinito si no existe. Es decir, en términos más simples: la máxima separación posible entre dos puntos de la figura. Se llama "diámetro" precisamente porque en el caso de una circunferencia, coincide con el diámetro que todos conocemos. Por ejemplo, el diámetro de un cuadrado es la longitud de su diagonal; el de una línea es su longitud; y el de un triángulo, la longitud de su lado más largo.

    ¿Cómo son las figuras que tienen diámetro, por ejemplo, uno? Para empezar, cualquier cosa que dibujemos contenida en una circunferencia de diámetro uno tiene diámetro menor o igual que uno, y exactamente uno siempre que se acerque lo suficiente a tocar los extremos de un diámetro de la circunferencia. Pero... ¿son todas las figuras de diámetro uno así?. Más exactamente:

    Dada una figura cualquiera de diámetro menor o igual que uno, ¿podemos encontrar un disco de diámetro uno que lo contiene?  

    Aquí, "figura" significa subconjunto del plano, que tomaremos compacto para simplificar (el que no sepa lo que significa compacto, que no se preocupe: la pregunta puede entenderse igualmente, y además en este caso no significa más que cerrado. Si tampoco sabes lo que es eso, sigue sin pasar nada: olvida este paréntesis). Por "disco" entiendo un círculo cerrado con su interior, o bien una bola, o como le llaméis usualmente. La pregunta puede hacerse también en el espacio, y en realidad en el espacio euclídeo de cualquier dimensión, así que se prefieren demostraciones que también sirvan para Rⁿ.

    Es una pregunta molesta, no creáis. Seguro que hay más de una demostración elegante, corta y bonita (porque no se me ocurre ningún contraejemplo y además parece intuitivamente cierto, y la demostración debería ser acorde con eso), pero no creo que sea algo evidente. De hecho si empieza uno a pensar en ello, tener diámetro menor que uno significa que cada par de puntos están separados por una longitud menor o igual que uno. ¿Significa eso que hay algún punto del plano que esté a distancia menor o igual que 1/2 de todos los puntos de la figura (el centro de la circunferencia que nos gustaría encontrar) ? No parece fácil ver eso. ¿Algún teorema de punto fijo? ¿Algo que tenga que ver con la desigualdad isoperimétrica? ¿Algo mucho más simple que no necesite ninguna herramienta de ese calibre? ¿...?

    Espero que alguien encuentre una demostración. Suerte.