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El Paraíso de las Matemáticas - Juegos ~ El triángulo de Tartaglia y los impares. Solución
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El triángulo de Tartaglia y los impares. Solución

    En la línea 199 del triángulo de Tartaglia hay 16 números impares y 183 pares.

    Carlos Merino me envió la primera respuesta correcta. También enviaron respuestas Santiago Segarra, Josep Marc, Robert Vilageliu, Miquel Capó Dolz, Francisco Contador Rojas y Sebastián Romero.

    ¿Cómo se puede llegar a esa respuesta? Por ejemplo, podemos empezar a ver cómo están distribuidos los números pares e impares en el triángulo. Si ponemos un uno en lugar de cada número impar y un cero en lugar de cada par es fácil ver la pauta que siguen (para eso no necesitamos calcular los números del triángulo, sino que basta con hacer las cuentas módulo 2). Un poco después de empezar a dibujarlo vemos que la figura que forman es muy curiosa:

    En este dibujo, de Miquel Capó, el triángulo está dibujado hasta la línea 300 y aparece girado a la izquierda; se han representado los impares con un punto negro y los pares con un punto blanco. La figura que resulta se parece mucho al triángulo de Sierpinski, y si dibujamos partes mayores del triángulo de Tartaglia con la forma anterior de colorear los números obtenemos cada vez aproximaciones mejores a este triángulo. Observando el dibujo (que imaginaré con el pico hacia arriba) podemos ver por qué ocurre esto: cada vez que encontramos una línea formada sólo por impares se repite bajo ella el dibujo que hay por encima, pero dos veces (una a cada lado). Una forma de ver esto es observar que, ya que cada número se calcula a partir de los dos que hay justo encima, bajo una línea de números impares (puntos negros) siempre hay un triángulo invertido de números pares (puntos blancos). Bordeando esa línea es fácil ver que debe haber una línea de unos, y entonces a cada lado tiene que repetirse el diseño que hay encima porque el proceso para dibujarlo es el mismo. Teniendo esto en cuenta no es difícil ver que las líneas 4, 8, 16... las que están en lugar potencia de 2, están formadas sólo por números impares, y bajo ellas se repite, doblado, el dibujo que hay encima.

    Esto nos ayuda a saber el número de impares en una línea dada, ya que ahora sabemos que

nº de impares en la línea (2n + k) = 2 veces el número de impares en la línea k, (siempre que k sea más pequeño o igual que 2n.

    Así que:

como 199 = 128 + 71, nº impares en la línea 199 = 2 x nº de impares en la 71.

como 71 = 64 + 7, nº impares en la línea 71 = 2 x nº de impares en la 7.

A la línea 7 es muy fácil llegar a mano: allí hay 4 impares, así que en la línea 199 hay 2 x 2 x 4 = 16 impares.

    Josep Marc observa que el número de impares en cualquier línea del triángulo es dos elevado a la cantidad de unos en la expansión binaria del número de la línea anterior. Así, como 198 es 11000110 en binario, que tiene cuatro unos, en la línea 199 hay 16 impares. Observad que una de las formas de calcular la expresión binaria de un número es exactamente lo que hemos hecho arriba: se toma la potencia de dos más cercana al número por debajo; se pone un uno en esa posición y se hace lo mismo con la parte sobrante del número, hasta que ya no se pueda seguir.

    Desde luego, hay muchas formas de llegar al mismo resultado. Carlos Merino, por ejemplo, escribe el número de impares en cada línea así:

Líneas 3 y 4: 2, 4 (línea 4, 4 impares)

Líneas 5 a 8: 2, 4, 4, 8 (línea 8, 8 impares)

Líneas 9 a 16: 2, 4, 4, 8, 4, 8, 8, 16 (línea 16, 16 impares)

Líneas 17 a 32: 2, 4, 4, 8, 4, 8, 8, 16, 4, 8, 8, 16, 8, 16, 16, 32 (línea 32, 32 impares)

Líneas 33 a 64: 2, 4, 4, 8, 4, 8, 8, 16, 4, 8, 8, 16, 8, 16, 16, 32, 4, 8, 8, 16, 8, 16, 16, 32, 8, 16, 16, 32, 16, 32, 32, 64 (línea 64, 64 impares)

...

    De esta forma se ve la pauta que siguen: cada una de las listas anteriores se consigue repitiendo la previa y luego añadiendo la misma multiplicada por dos (esto es esencialmente el mismo razonamiento de arriba escrito de otra forma). Siguiendo esta idea se puede deducir cuál será el número de impares en una línea dada.

    Si tienes comentarios sobre la respuesta puedes enviarlos a José A. Cañizo. No olvides incluir el nombre del juego en el asunto del mensaje.

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