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El Paraíso de las Matemáticas - Juegos ~ El Acertijo de los Peregrinos. Solución
.: Juegos :.
El Acertijo de los Peregrinos.
(The Riddle of the Pilgrims). Solución

    La respuesta correcta es que inicialmente venían veintisiete peregrinos. Luego se apuntan tres más, así que al final llegan a la abadía 30 peregrinos.

    El alojamiento de los mismos en las habitaciones es como sigue:

    1.- Para la situación inicial, todos habéis colocado a los 27 peregrinos en las habitaciones de la misma manera:

27 Peregrinos

Planta Baja
 
                Primer Piso
 
1 1 2
1   1
1 1 1
3 1 3
2   1
3 2 3

    2.-  Para el caso final en el que tenemos 30 peregrinos, he recibido las siguientes posibles soluciones correctas:

Solución de Pascual Garrote
30 Peregrinos

Planta Baja
 
                 Primer Piso
 
1 1 1
2   2
1 1 1
3 3 2
2   2
2 3 3

   

Solución de Rafael Gómez
30 Peregrinos

Planta Baja
 
                 Primer Piso
 
2 1 1
1   1
1 1 2
2 3 2
3   2
2 3 2

    

Soluciones de José Tomé
30 Peregrinos

Planta Baja
 
                 Primer Piso
 
1 1 2
1   1
2 1 1
3 3 1
3   3
1 3 3

30 Peregrinos

Planta Baja
 
                 Primer Piso
 
1 2 1
1   1
1 2 1
3 2 2
3   3
2 2 3

    Supongo que en general el razonamiento para llegar a la solución habrá sido determinar primero el numero de peregrinos y luego alojarlos en las habitaciones de acuerdo a las normas de la abadía.

    La única persona que me ha explicado como ha obtenido el número inicial de peregrinos ha sido Pascual Garrote, que lo explica como sigue:

    Para deducir el número inicial de peregrinos se puede argumentar así:

    Ha de ser un múltiplo de 3 (un tercio de ellos en la planta baja y dos tercios de ellos en el primer piso); por otra parte, ha de ser menor o igual que 36 y mayor o igual que 24, ya que en el primer piso pueden alojarse como máximo 24 peregrinos (3 en cada habitación) y en la planta baja 8 peregrinos como mínimo (uno en cada habitación); múltiplos de 3 mayores que 36 o menores que 24 obligan a dejar desalojadas algunas habitaciones de la planta baja. No obstante, estos casos (36 y 24) no son posibles; el primero porque para que hubiera 11 peregrinos en cada ala del edificio sería necesario que quedaran algunas habitaciones de la planta baja desalojadas, lo cual no está permitido por las reglas de la abadía, y el segundo porque implicaría alojar en el primer piso a 20, si es que se quiere cumplir con la regla de las alas, y esto no puede conjugarse con el hecho de que haya el doble de peregrinos en el primer piso. La siguiente posibilidad es 33, la cual tampoco es posible por la misma razón que la de 36. Para los casos 30 y 27 es posible encontrar una colocación de los peregrinos de acorde con las reglas de la abadía.

    Así pues, es evidente que si se han podido alojar los peregrinos no sólo en una primera colocación sino también en una segunda, tras la llegada de los últimos tres peregrinos, la respuesta a la pregunta es 27 peregrinos.”

Pascual Garrote

    Después de proponer el problema, me encontré en un libro de Martin Gardner llamado “Juegos Matemáticos de Sam Lloyd” (“Mathematical puzzles of Sam Lloyd”) una versión del mismo problema que escribió Sam Lloyd con el propósito de que el problema tenga solución única.

    El Problema se llama “El problema del convento”. El convento en cuestión lo es el convento de “Mt. Maladetta”, situado en lo alto de la montaña más alta de los Pirineos.

    En Lugar de peregrinos llegan al convento unas monjas.

    Pero bueno, los cambios que nos interesan en esta versión son los cambios que afectan a las matemáticas del problema. En la nueva versión las normas de la abadía se seguían respetando, excepto la condición de que no puede haber más de tres personas por habitación. En el convento de Mt. Maladetta se pueden colocar a tantas monjas como queramos por habitación. Y el otro cambio es que en lugar de llegar tres peregrinos de más, al convento nos llegan nueve monjas de menos.

    De esta forma el problema tiene solución única.

    Inicialmente llegaban 36 monjas al convento, pero al perderse nueve, solo llegan 27. La colocación de las mismas en las habitaciones es:
 

36 Peregrinos

Planta Baja
 
                 Primer Piso
 
1 2 1
2   2
1 2 1
1 5 1
5   5
1 5 1

27 Peregrinos

Planta Baja
 
                 Primer Piso
 
1 1 1
1   2
1 1 1
3 2 3
1   1
4 1 3

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