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El Paraíso de las Matemáticas - Juegos ~ Si aplastas, ¡se mueve!. Solución
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Si aplastas, ¡se mueve!. Solución

     Una figura que cumple lo que se pide es la gráfica de la función logaritmo. Las únicas respuestas que la mencionan son las de Nicolás Cianci, José E. Sánchez y Guillem Huguet Serra. Ésta última dice:

     La gráfica de la función logaritmo cumple con las condiciones del problema, ya que 'log(ax)= log x + log a', de donde una compresión horizontal da lugar a una traslación vertical. Además es claramente homeomorfa a la recta real, al ser 'log x' una función continua en '(0, +¥ )'.

     Como ya dije, hay muchos dibujos que se desplazan o no se mueven al comprimirlos. Manolo Sánchez dio de hecho un método general con el que se pueden encontrar todos los dibujos que no cambian al comprimirlos. El único dibujo homeomorfo a una recta que he encontrado y que lo cumple es, salvo las rectas, la gráfica de la función logaritmo. ¿Cuál es el aspecto de esta función?

(El gráfico representa el logaritmo en base 10).

    Por sorprendente que parezca, la forma especial de esta función hace que cumpla la propiedad de la que hablábamos. Si ahora mismo te estás preguntando qué era el logaritmo echa un vistazo a http://planetmath.org/encyclopedia/Logarithm.html (en inglés) o http://personal.redestb.es/javfuetub/aritmetica/logaritm.htm (en español). Dicho rápidamente, un número 'x' es el logaritmo de otro número 'y' (en base 10) si 10 elevado a 'x' da 'y'. El logaritmo de 'x' es la contestación a la pregunta "¿a qué número tengo que elevar 10 para obtener 'x'?''. Los logaritmos en otras bases se definen de forma análoga, pero aquí sólo usaremos los de base 10.

     Las gráficas de las funciones tienen un comportamiento curioso. Si 'f' es una función, obtenemos su gráfica poniendo puntos en el plano con coordenadas '(x,y)' de forma que 'y = f(x)'. La gráfica de la función 'g(x) = f(2x)' es el mismo dibujo que la gráfica de la función 'f', pero comprimido horizontalmente la mitad de su tamaño. La gráfica de 'h(x) = 1/2 f(x)' es, por otra parte, la misma que la de 'f' pero esta vez comprimida verticalmente a la mitad. Si sumamos un número a la función, la gráfica se desplaza hacia arriba esa distancia, o hacia abajo si el número es negativo.

     La función logaritmo cumple muchas propiedades que la hacen especial entre las demás funciones. Entre ellas está la siguiente: si 'a, x' son números positivos, entonces 'log(ax)= log x + log a'. Dicho de otra forma: la gráfica del logaritmo, comprimida horizontalmente, es igual que la gráfica del logaritmo, desplazada hacia arriba una distancia 'log a'.

    ¿Es la gráfica del logaritmo la única solución posible?

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