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Gauss  
 
Yo protesto sobre todo del uso que se hace de una cantidad infinita como cantidad completa, lo que en matemáticas jamás está permitido. El infinito es sólo una forma de hablar, en la que propiamente debería hablarse de límites.
 
El Paraíso de las Matemáticas - Juegos ~ Los cacahuetes del mono. Solución
.: Juegos :.
Los cacahuetes del mono. Solución

    La respuesta, como casi todos los que han contestado me indican, es 100. No es difícil ver por qué. Una de las formas posibles es la siguiente, (de la respuesta de Adolfo López):

    La respuesta es 100, o muy próximo a este número. ¿Por qué?

    Creamos una sucesión, digamos que x0 es el número de cacahuetes que tenía al principio. Después del primer día tendrá x1 = (x0 + 100) / 2, al finalizar el siguiente día tendrá x2 = (x1 + 100) / 2. Si en vez de escribirlos de esta forma los escribimos en función del número de cacahuetes que tenía el primer día, nos quedaría:

x1 = x0 / 21 + 100 / 21

el siguiente nos quedaría

x2 = x0 / 22 + 100 / 22 + 100 / 21

así, el día n nos quedaría

xn = x0 / 2n + 100 / 2n + 100 / 2(n-1) + 100 / 2(n-2) + ... + 100 / 21

y sólo nos queda calcular el límite de esta sucesión cuando n es grande. El primer término tiende a 0, y la suma es una serie geométrica cuya suma es 100 (que puede calcularse con su fórmula); así, el límite de xn es 100, que es el número de cacahuetes que le quedarán al mono después de varios años.

    Pero recordemos que no sabemos cuántos cacahuetes había inicialmente. Esto es cierto sin importar cuál sea el número inicial. Pasado un tiempo (que podría ser muy largo) quedan casi 100 cacahuetes cada día; cada día se añaden 100, el mono se come muy aproximadamente 100, y quedan muy aproximadamente 100. Si uno toma, por probar, una cierta cantidad de cacahuetes inicial, es fácil darse cuenta de que lo que queda para llegar a 100 se reduce cada día a la mitad. Esto nos da la idea de que si pensamos en la diferencia entre 100 y los cacahuetes que quedan cada día, tal vez el razonamiento anterior sea más fácil. Pongamos que dn es 100 - xn (donde xn es el de antes). Entonces, siguiendo la misma idea de arriba,

d1 = d0 / 2
d2 = d1 / 2
d3 = d2 / 2

Así que dn = d0 / 2n

y se ve claramente que dn se acerca muy rápido a 0 según n (el número del día) crece. Ésta es la solución que se dio inicialmente en la lista de Snark, donde se propuso.

    Esta vez ha habido muchas respuestas, debido más que nada al tiempo que he tardado en actualizar esto, así que no puedo citarlas todas aquí. Como siempre, gracias a todos los que las habéis enviado.

    Si tienes comentarios sobre la respuesta puedes enviarlos a José A. Cañizo. No olvides incluir el nombre del juego en el asunto del mensaje.

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