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El Paraíso de las Matemáticas - Juegos ~ Menos de quince palabras. Enunciado
.: Juegos :.
Desmayos de la razón (IV). Enunciado
Menos de quince palabras

Qué locura es el quererte aún,
qué desmayos tiene la razón...

El Último de la Fila,
{Remando sobre el Polvo}

Por José A. Cañizo

Introducción ~ Desmayos de la razón

    Las asas de las tazas se ponen a la derecha para que a los diestros les sea más fácil sujetarlas. Es una suerte que la nariz esté ahí para poder sostener bien las gafas y me han dicho que el próximo fin de año caerá en Martes trece. Todas éstas son tonterías sin mucho sentido, argumentos falsos un poco más cortos que los que vienen a continuación. Una buena parte de cada uno de nuestros días depende del razonamiento: necesitamos decidir cuál es la mejor opción entre dos posibles, necesitamos el razonamiento de otros antes que nosotros para poder hacernos una radiografía, necesitamos saber si nos están cobrando de más en el banco, nos hace falta decidir si la persona a la que están juzgando es culpable o no... necesitamos acercarnos a esa cosa tan extraña que es la verdad, porque de lo contrario no tendremos muchas oportunidades de conseguir lo que queramos. Tal vez por eso un razonamiento falso donde el error está encubierto inquieta un poco, porque aunque sea una mentira de juguete no deja de estar jugando con la frágil habilidad de la que dependemos. Después de todo, en los periódicos hay mentiras que desearíamos poder identificar siempre, estadísticas engañosas con las que nos quieren hacer creer lo que sea, argumentos absurdos que deciden la vida de la gente. Pero todas éstas son mentiras que ganan juicios; los que vienen ahora no son más que pequeños desmayos de la razón.

Menos de quince palabras

    El siguiente razonamiento no tiene nada que ver con los anteriores ni en su origen ni en su explicación, que no es tan sencilla. Es también bastante conocido, si bien seguramente menos que los que se han mencionado antes.

    Se trata de convenceros de que en el idioma español cualquier número natural puede describirse exactamente con 15 palabras o menos. Es decir: para cualquier número que se me ocurra, por grande que sea, puedo encontrar una frase de quince palabras o menos para describirlo de forma que cualquier otra persona que comprenda el español sepa cuál es el número que he pensado. Razonemos que esto es necesariamente así.

    Suponed que no fuese cierto. Entonces tendría que haber un número que fuese el más pequeño de todos los que no pueden describirse con quince palabras o menos. Tendría que ser grande, claro, porque por ejemplo para los números del uno al, digamos, diez mil, hay ya frases que los describen (sus nombres) y que tienen menos de quince palabras. Pero lo importante es que en realidad ese número no puede existir, porque la frase "el número natural más pequeño que no puede describirse exactamente con quince palabras o menos" tiene precisamente quince palabras, y describe a este número hipotético. Por tanto, ¡ese número no puede existir, o llegaríamos a una contradicción!. Deducimos entonces que todos los números deben poder ser descritos así.

    ¿Que falla en esto?. Porque es una tontería, claro. Es imposible por miles de razones mucho más claras que la que acabamos de dar: sólo hay un número finito de palabras en español y un número finito de frases que podemos formar con quince palabras, así que no pueden describirse todos los infinitos números que hay con quince palabras, ni con treinta, ni con treinta millones. Además, ¿qué tiene de especial el idioma español?. Si hacemos el mismo razonamiento en inglés podríamos deducir que los números se pueden escribir con catorce palabras o menos. ¡Los ingleses necesitan una palabra menos! ¡Qué suerte!. Pero esperad: si escribimos la frase de antes como "el natural más pequeño que no puede describirse exactamente con catorce palabras o menos" y repetimos la misma prueba, ¡también nosotros podemos usar sólo catorce palabras!.

    Lo dicho: tonterías. ¿Dónde falla el argumento?.

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