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El Paraíso de las Matemáticas - Juegos ~ El recorrido de las damas. Enunciado
.: Juegos :.
El recorrido de las damas. Enunciado

Por José A. Cañizo

    He estado echando un vistazo a algunos libros que tengo sobre pasatiempos matemáticos buscando algo interesante que publicar en la sección, y he encontrado un precioso juego relacionado con el triángulo de Pascal en una recopilación de artículos de Martin Gardner publicada en español por Alianza Editorial, "Carnaval Matemático". Planteemos primero el juego:

    Tomemos un tablero de ajedrez y coloquémoslo de la forma en que se pone para jugar a dicho juego (es decir, con un cuadro blanco en la esquina inferior derecha). Si empezamos con una ficha en cualquiera de las casillas negras de la fila superior del tablero, podemos llegar a cualquiera de las casillas negras de la fila inferior haciendo movimientos diagonales de una casilla cada vez y hacia abajo. Para que quede claro, la ficha puede moverse de una casilla negra a cualquiera de las casillas negras que están en la fila inmediatamente inferior y que la tocan en las esquinas. Empezando en una casilla negra superior determinada y acabando en una de las casillas negras de abajo, fija, puede haber muchas formas distintas de hacer el camino entre ellas siguiendo este método. La pregunta es: ¿Entre qué dos casillas (negras) superior e inferior hay un mayor número de caminos posibles? ¿Cuántos caminos posibles hay entre estas dos?

    Es una buena pista el saber que la solución tiene que ver de alguna forma con el triángulo de Pascal, de forma que a continuación explicaremos brevemente lo que es. Este conocido triángulo es la disposición de números construida así:

1
1    1
1    2    1
1    3    3    1
1    4    6    4    1
1    5    10 10    5  1
...

     Se empieza con un 1 en la primera fila, y en las filas siguientes se van colocando números de forma que cada uno de ellos sea la suma de los dos números que tiene encima, como se muestra. Se supone que los lugares fuera del triángulo contienen ceros, de forma que los bordes del triángulo están formados por unos. Aquí sólo se ve una parte; el triángulo continúa por debajo y es infinito.

    Había pensado en hacer un resumen de las muchas propiedades que cumple, pero he comprobado que sólo con eso tendríamos para varios boletines enteros, así que he renunciado. En lugar de eso, propongo que enviéis las que conozcáis, lo más resumidas posible y a poder ser, las menos famosas. En el próximo número publicaremos una lista de las más curiosas. Tan sólo mencionaré lo que en mi opinión es más importante, y es el hecho de que las filas del triángulo están formadas por los números combinatorios que se suelen usar en análisis y en cálculo de probabilidades. El número combinatorio (n sobre m), que representa el número de grupos de m elementos que pueden hacerse de entre un conjunto de n (por ejemplo, (4 sobre 2) nos da el número de parejas distintas que podrían hacerse en un grupo de cuatro personas), se encuentra en el triángulo en la fila n+1, en el lugar m+1. Podemos saber que el número de parejas posibles que decíamos antes es 6 si miramos el tercer número de la quinta fila. Esto hace que el triángulo sea útil como representación de estos números, y proporciona una buena forma de intuir sus propiedades.

    Pues bien: el número de formas de ir de una casilla a otra en el problema anterior puede calcularse usando algo parecido a un triángulo de Pascal. ¿Puedes averiguar cómo?

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