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Pierre Fayard  
 
Es hora de romper el modelo del vaso lleno de sabiduría vertiéndose en vasos vacíos que no se plantean otras preguntas que las que el vaso lleno sabría responder.
 
El Paraíso de las Matemáticas - Historia ~ La invención del cáculo infinitesimal
.: Historia :.
 
La invención del cáculo infinitesimal

Isaac Newton

    Este ilustre matemático y físico ingles nació en el año 1642 en Woolsthorpe. Al quedar huérfano de padre y volverse a casar su madre, fue criado por su abuela.

    En 1661 al salir de la escuela de Grantham, ingresó en el Trinity College de Cambridge, donde en 1665 se gradúo bachiller en artes.

    Durante su primer curso en Cambridge, leyó obras de Euclides, Descartes, Kepler, Viète y Wallis. A partir de 1663, asistió las clases que impartía Isaac Barrow y se va familiarizando con las obras de Galileo, Fermat, Huygens y otros. A finales de 1664, newton domina con bastante soltura y detalle los conocimientos matemáticos de la época y esta en condiciones de hacer sus propias contribuciones.

    Durante los primeros meses de 1665 hace sus primeros descubrimientos sobre las series finitas y empieza a pensar en la velocidad de cambio o fluxión de magnitudes que varían de manera continua, tales como longitudes, áreas, distancias, etc. Estos dos tipos de problemas loa asocio bajo el nombre de "Mi método".

    Inmediatamente después de graduarse, regresó a su casa y allí permaneció durante todo el año 1666, ya que el Trinity College estuvo cerrado a causa de la epidemia de peste que asoló a Inglaterra en esta época.

    Este periodo lo dedico Newton a pensar, y como consecuencia de ello conseguirá sus principales descubrimientos: El teorema Binomial, el Cálculo, la Ley de Gravitación universal y La naturaleza de las cosas.

    En 1668 volvió al Trinity College, del que había sido nombrado fellow el año anterior. Allí vivirá los veintiocho años siguientes dedicado a sus investigaciones, cuyos resultados han inmortalizado su nombre.

    Cuando Barrow se retira de la enseñanza, en 1669, a causa de ser nombrado capellán del rey Carlos II, coopera para que nombren a Newton como sucesor suyo en la cátedra de matemáticas.

    Al ser nombrado, Newton, gobernador de la Casa de la Moneda Británica, abandona Cambridge en 1696 y residirá en Londres el resto de su vida.

    Desde 1703 hasta su muerte, acaecida en 1728, ocupó la presidencia del club científico británico, La Royal Society, y en 1705 fue nombrado caballero por la reina Ana.

    Newton era poco hablador y además le desagradaban tanto las luchas y las criticas que se originaban inevitablemente en torno de las manifestaciones científicas que, a causa de la controversia que originó, en 1672, un artículo suyo publicado en la Philosophical Transactions sobre la naturaleza de los colores, decidió no publicar nada más, hasta que en una ocasión el astrónomo Edmund Halley fue a preguntarle si sabía qué trayectoria seguiría un planeta alrededor del sol suponiendo que la única fuerza que la influyera fuese una fuerza que disminuye en relación con el cuadrado de su distancia respecto al sol. La respuesta de Newton fue inmediata "la trayectoria es elíptica".

    Al explicar newton todos los pormenores sobre el tema en cuestión, Halley le alentó para que volviera a crear sus cálculos originales y los publicase. El resultado fue la obra más influyente y revolucionaria que jamás apareciera impresa. Newton la tituló Philosophie Naturalis Principia Mathematica, más conocida por Los Principia. En ella no sólo explica y razona físicamente el sistema solar, sino que también establece las leyes de las dinámica por medio del Cálculo.

    Sin embargo, ni las instigaciones de Halley ni de Wallis pudieron convencer a Newton para que publicase su versión de Cálculo, hasta que otro matemático, el alemán G. W. Leibniz, 1n 1684, publica en la revista científica Acta Eruditorum un procedimiento que había conseguido independientemente en 1675 para el cálculo de las tangentes a una curva cualquiera. Este procedimiento era análogo al aplicado por Newton en 1665 para el cálculo de velocidades y aceleraciones en movimientos variados y que le habían conducido a inventar el cálculo.

    De ahí, que si bien la primera exposición matemática del cálculo la hace Newton en su obra De Analysi, escrita en 1669 y publicada en 1711, su exposición inteligible del cálculo se encuentra en la obra De quadratura curvarum, la cual figura como anexa a otra obra titulada La optiks, impresa en 1704.

Isaac Barrow

    El precursor de Newton en el cálculo fue su profesor Isaac Barrow, quien en 1670 publicó la obra Lectiones geometricae, en la que expone un procedimiento para trazar una tangente a una curva, en el cual utiliza por primera vez unas cantidades equivalentes a los términos modernos D x y D y, Este procedimiento no lo pudo generalizar debido q que carecía de una algoritmo universal para el binomio con exponentes enteros y negativos, y fraccionarios.

El teorema del binomio

    El teorema del binomio nos dice que la expresión general de un binomio cualquiera, como (x + y), elevado a la n-ésima potencia está dada por

    El desarrollo completo contiene n + 1 términos, empezando con el término cero y terminando con el término n-ésimo. En este ejemplo, el término cero es xn. El coeficiente genérico del término k en la expresión anterior es

=

    Este teorema fue desarrollado alrededor de 1676 para exponentes fraccionarios, lo que le permitió el uso de sus recién descubiertos métodos de cálculo para resolver muchos problemas difíciles. El teorema del binomio, también llamado binomio de Newton, es muy útil en varias ramas de las matemáticas, en particular en la teoría de la probabilidad.

El método sistemático de diferenciación

    Para calcular la razón entre las velocidades instantáneas del cambio de y y de x, o lo que es lo mismo, el cálculo de la pendiente de una curva, Newton utilizo un procedimiento muy similar al de Barrow. Así, por ejemplo:

    Sea la curva ym = xn, consideró a "o" un intervalo muy pequeño, y a p y q como incrementos pequeños que experimentan "x" e "y" durante dicho intervalo. A continuación procedió de la forma siguiente:

Paso 1:

    Si a "x" se le da el incremento p, la "y" experimentará el incremento q y resultaría que (y + q)m = (x + p)n. Desarrollando ambos miembros por el teorema del binomio, queda :

Paso 2:

    Como natural se elimina los términos ym con xn, quedando

Paso 3:

    Dividiendo ambos términos por "o" y despreciando todos los términos que todavía contengan "o" queda:

 

Paso 4:

Si ym = xn, y = xn/m. Es decir

    Sustituyendo en el resultado del paso 3 quedará

 La integración como inversa de la diferenciación

    Las primeras reglas del cálculo integral se encontraron integrando por suma directa. Por ejemplo, si dividimos la abscisa ON=x de la figura en n partes iguales D x = y designamos las ordenadas correspondientes a los puntos de división por y1, y2, …yn, la superficie NOP limitada por la parábola y =ax2, la ordenada extrema y el eje de las abscisas, tendrá como área aproximada:

y1D x + y2D x + …+ ynD x = S yi·D x.

Sustituyendo y1 por a(D x)2, y2 por a(2D x)2, etc., tendremos

S ax2D x = aD x{(D x)2 + (2D x)2 + (3D x)2 + …+ (n2D x)2 }= a (D x)3 {(12 + 22 + … + n2}

= a

    Para n = (limite) se tendrá exactamente ò ax2dx =

    Las dificultades de la integración directa se encuentran en la valoración de la suma o serie que se presenta, y para superar estas dificultades es por lo que en general se considera a la integración como inversa de la diferenciación.

    Isaac Barrow fue el primer hombre que se dio cuenta de que el problema de la tangente y el problema del área son dos caras de la misma moneda. Sin embargo, fue Newton quien primero cálculo un áreas mediante el proceso inverso de diferenciación.

Leibniz, Gottfried Wilhelm

    Leibniz, Gottfried Wilhelm (1646-1716), también conocido como barón Gottfried Wilhelm von Leibniz. Filósofo, matemático y estadista alemán, considerado como uno de los mayores intelectuales del siglo XVII. Nacido en Leipzig, se educó en las universidades de esta ciudad, de Jena y de Altdorf. Desde 1666 (año en que fue premiado con un doctorado en leyes) trabajó para Johann Philipp von Schönborn, arzobispo elector de Maguncia, en diversas tareas legales, políticas y diplomáticas. En 1673, cuando cayó el régimen del elector, Leibniz marchó a París. Permaneció allí durante tres años y también visitó Amsterdam y Londres, donde dedicó su tiempo al estudio de las matemáticas, la ciencia y la filosofía. En 1676 fue designado bibliotecario y consejero privado en la corte de Hannover. Durante los 40 años siguientes, hasta su muerte, sirvió a Ernesto Augusto, duque de Brunswick-Lüneburg, más tarde elector de Hannover, y a Jorge Luis, elector de Hannover, después Jorge I, rey de Gran Bretaña.

    Leibniz fue considerado un genio universal por sus contemporáneos. Su obra aborda no sólo problemas matemáticos y filosofía, sino también teología, derecho, diplomacia, política, historia, filología y física.

    Su primera contribución matemática fue su tesis Desertatio de arte combinatoria, escrita en 166, en la que expone algunas ideas sobre análisis combinatoria y sobre la lógica formal simbólica.

    En 1672 viaja a París, en misión diplomática, y allí estudia álgebra y geometría analítica con Huygens, quien le aconseja que si quiere ser matemático debería leer los tratados de Pascal.

    Cuando en 1673 viaja a Londres, compra las obras de Barrow, traba amistad con algunos eruditos e incluso es muy posible que haya visto el tratado De Analysi de Newton, en forma manuscrita.

    En 1678 publica un descubrimiento del cálculo en la revista Acta eruditorum, en el cual pone énfasis sobre la relación inversa que hay entre la integración y la diferenciación , así como en la importancia del método, ya que tanto el calculus differencialis, como el calculus sumatorius o integralis, podían ser aplicados a las curvas algebraicas y a las no algebraicas o trascendentes.

    Si bien la contribución más importante de Leibniz a la matemática el al cálculo, no se deben olvidar otras contribuciones menores, tale como la generalización del teorema binomial y multimonial, la primera referencia al método de los determinantes en occidente, algunas consideraciones sobre le sistema de numeración binaria, gran cantidad de notaciones, la descomposición de un numero real en términos de imaginarios, pero sin formula para la raíces cuadradas de un numero complejo dadas en la forma compleja. Como filosofo, afirma que no existe una substancia única, sino pluralidad de substancias llamadas mónadas, separadas y únicas por naturaleza, sin más relación entre sí que la dinamante de su común procedencia del mismo Dios.

    Aunque Newton llegó mucho más allá que Leibniz en el cálculo, éste tuvo una notación superior. Mientras Newton escribía la derivada de y como y’, la derivada de x como x’ Leibniz las escribía dy/dx y dx/dy.

    Desgraciadamente, Newton y Leibniz, en sus últimos años mantuvieron una disputa en torno a quien fue el primer descubridor del cálculo.

    Actualmente, esta completamente claro que a Leibniz le corresponde la primacía de la publicación de su versión sobre el cálculo y a Newton la del descubrimiento.

    Después de haberse encadenado dicha rivalidad, Leibniz y sus seguidores expusieron problemas con los que esperaban dejar paradifuso a Newton. Uno de estos problemas era el que planteo Jean Bernoulli, cuyo enunciado consistía en hallar la fórmula de la curva sobre la cual se deslizará una partícula, bajo la influencia de la gravedad, para moverse desde un punto superior a otro inferior, no situados en la misma vertical, en el menor tiempo posible. Este problema era uno d los primeros ejemplos de máximos y mínimos. Newton lo resolvió en una noche y llegó a la conclusión de que era la cicloide. Se dice que al recibir la respuesta de Newton, Bernoulli manifestó "Reconozco al león por sus garras".

    Leibniz en el año 1716, el último de su vida, lo volvió a desafiar con el problema de hallar las trayectorias ortogonales de una familia de curvas planas. También en esa ocasión, Newton resolvió el problema y dio un método general para hallar las trayectorias.

Guillaume de L’Hôpital

    Este marqués francés nació en París en 1661 y fue instruido en 1692, en el cálculo, por Jean Bernoulli, quien por esas fechas residía en París.

    L’Hopital pasa a la historia de la matemática por sus obras Analisis de los infinitamente pequeños y Tratado analítico de las secciones cónicas, que contribuían, respectivamente, en el desarrollo del cálculo, que contribuirán, respectivamente, en el desarrollo del cálculo y de la geometría analítica del siglo XVIII.

    La primera de las obras mencionadas, publicadas en 1696, que contiene la obra que conocemos hoy con el nombre de L’Hopital, en términos modernos dice:

    Si f(x) y g(x) son funciones diferenciales en x = a tales que f(a) = g(a) = 0, entonces:

Historia
   Definición: f. Narración y exposición de los acontecimientos pasados y dignos de memoria, sean públicos o privados.
  En pocas palabras, historia de las matemáticas, biografías, galería de genios, etc.

Índice Matemática
Siglos XVII - XVIII

Introducción

Europa en los
siglos XVII y XVIII

El racionalismo
del siglo XVII

La invención del
cálculo infinitesimal

El siglo XVIII

Arte y Arquitectura
del Barroco

Ciencias

Conclusión y Bibliografía

Material de

Material de  Mauricio Vega

Miércoles, 27 / 01 / 2021
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