Son tan dudosos y discutidos los orígenes y el período durante el que se desarrollaron los Sulvasutras que no se puede decir con seguridad si estas reglas están relacionadas o no con la primitiva agrimensura egipcia o con el problema griego más tardío de la duplicación del altar cubico. Los Sulvasutras han sido fechados por los historiadores de una manera muy variada dentro de un intervalo de tiempo de casi 1000 años, que se extiende desde el siglo VIII a.C. al siglo II de nuestra era. La cronología local en las antiguas culturas del lejano Oriente apenas merece ninguna confianza cuando vemos que la tradición hindú ortodoxa se vanagloria de importantes trabajos astronómicos de hace más de 2.000.000 de años, y cuando los cálculos conducen a billones de días transcurridos desde el comienzo de la vida de Brahma al 400 de nuestra era aproximadamente. Las referencias en la literatura védica a progresiones aritméticas y geométricas que pretenden remontarse al 2000 a.C. pueden ser más seguras, probablemente, pero lo cierto es que no hay ningún documento contemporáneo de la India que confirme esto. También se ha pretendido que el primer reconocimiento de la existencia de lo inconmensurable tuvo lugar en la India durante el período de los Sulvasutras, pero tales pretensiones no están comprobadas en absoluto. La causa a favor de un descubrimiento temprano de las magnitudes inconmensurables por los hindues la hace de lo más improbable el reiterado interés o incapacidad de los matemáticos hindues para enfrentarse con los conceptos fundamentales.

Los Siddhantas

    Al período de los Sulvasutras, que se cierra hacia el siglo II de nuestra era, le sigue la época de los Siddhantas o sistemas astronómicos. El comienzo de la dinastía del rey Gupta (hacia el 290) señala un renacimiento de la cultura sánscrita, y los Siddhantas parecen haber formado parte de este renacer. Conocemos los nombres de cinco versiones diferentes de los Siddhantas, que son el Paulisha Siddhanta, Surya Siddhanta, Vasisishta Siddhanta, Paitamaha Siddhanta y Romanka Siddhanta. De entre todos ellos, el Surya Siddhanta o "Sistema del Sol", escrito hacia el año 400, parece ser el único que se conserva completo; según el texto mismo, escrito en verso en estrofas épicas, es la obra de Surya, el dios Sol. Las teorías astronómicas principales son evidentemente griegas, pero aparecen mezcladas con una cantidad considerable del viejo folklore hindú. El Paulisha Siddhanta, que data de hacia el 380, fue resumido por el matemático hindú Varahamihira y a él se refiere frecuentemente el sabio árabe Al-Burini, quien le atribuye directamente o un origen o una influencia griega. Los escritores más tardíos nos informan que todos los Siddhantas estaban esencialmente de acuerdo en su contenido, variando sólo en la fraseología utilizada, y así podemos suponer que los otros, al igual que el Surya Siddhanta, eran tratados de astronomía formulados por medio de reglas crípticas en verso sánscrito, con muy pocas demostraciones y ninguna demostración.

    Se suele admitir que los Siddhantas aparecieron hacia finales del siglo IV o comienzos del V, pero en lo que ya hay un marcado desacuerdo es en lo que se refiere a los orígenes de los conocimientos que contienen. Los historiadores hindues insisten, por supuesto, en la originalidad y la independencia de sus autores, mientras que los escritores occidentales se inclinan a ver en ellos signos indudables y claros de influencia griega. Es probable, por ejemplo, que el Paulisha Siddhanta provenga en gran parte de la obra del astrólogo Pablo, que vivió en Alejandría poco tiempo antes de la fecha presumible en que fueron compuestos los Siddhantas. Esta influencia vendría a explicar de una manera natural y sencilla las obvias semejanzas que hay entre algunas partes de los Siddhantas y la trigonometría y astronomía de Ptolomeo. El Paulisha Siddhanta, por ejemplo, utiliza para p el valor, que coincide esencialmente con el valor sexagesimal 3º8’30’’ de Ptolomeo.

    Incluso aunque los hindues adquiriesen sus conocimientos de trigonometría del helenismo cosmopolita de Alejandría, el material tomó en sus manos una forma que iba a ser muy significativa. Mientras que la trigonometría de Ptolomeo se basaba en la relación funcional entre las cuerdas y los correspondientes arcos o ángulos centrales en una circunferencia, que ellas subtienden, los escritores de los Siddhantas transformaron esto para convertirlo en un estudio de la correspondencia entre la mitad de la cuerda y la mitad del arco o del ángulo central subtendido por la cuerda total. Así fue como nació, aparentemente en la India, el antepasado de la función trigonométrica moderna que conocemos como el seno de un ángulo, y la introducción de esta función seno representa probablemente la contribución principal de los Siddhantas a la historia de las Matemáticas. Aunque se acepta generalmente que este cambio de la cuerda completa a la semicuerda tuvo lugar en la India, el historiador de la ciencia de principios de siglo Paul Tannery formuló la hipótesis de que esta transformación de la trigonometría pudo haber ocurrido en Alejandría durante el período post-ptolemaico. Sea o no sea correcta esta hipótesis, lo cierto es que el uso posterior de la semicuerda se extendió a través de los hindues y no de los griegos, y nuestra palabra ‘seno’ se deriva del nombre hindú ‘jiva’

Aryabhata

    Durante el siglo sexto, es decir, no mucho tiempo después de la composición de los Siddhantas, vivieron dos matemáticos hindues de los cuales se sabe que escribieron libros sobre el mismo tipo de materias. El más viejo y a la vez el más importante de los dos fue Aryabhata, cuya obra más conocida, escrita hacia el 499 y titulada Aryabhatiya, es un delgado volumen escrito en verso que cubre diversos temas de astronomía y matemáticas. Se conocen los nombres de varios matemáticos hindues anteriores a esta época, pero no se ha conservado nada de sus obras, salvo unos breves fragmentos. A este respecto, pues, la posición del Aryabhatiya es bastante análoga para el caso de la India a la de los Elementos de Euclides para Grecia ocho siglos antes. Las dos obras son, en efecto, recopilaciones de desarrollos anteriores compiladas por un único autor. Y, sin embargo, hay más diferencias, y más sorprendentes, que semejanzas entre estas dos obras; los elementos constituyan una síntesis bien ordenada lógicamente de la matemática pura, expuesta con un alto grado de abstracción y con un objetivo pedagógico evidente, mientras que el Aryabhatiya es una breve obra descriptiva escrita en 1232 estrofas métricas, con el objeto de suplementar las reglas de cálculo utilizadas en astronomía y en las técnicas de medición matemáticas, sin ninguna relación con la lógica o la metodología deductiva. Una tercera parte aproximadamente de la obre trata de ganitapada, es decir, de matemáticas; esta sección comienza con los nombres de las potencias de diez hasta el lugar décimo, y a continuación formula un conjunto de instrucciones para calcular raíces cuadradas y cúbicas de números enteros. Sigue un sistema de reglas para el cálculo de áreas, la mitad más o menos de las cuales son erróneas; para el área de un triángulo se da la regla correcta de calcular la mitad de producto de la base por la altura, para el volumen de la pirámide también se toma la mitad del producto de la base por la altura. El área de un círculo se calcula correctamente como la mitad del producto de la circunferencia por la mitad del diámetro, pero el volumen de la esfera viene dado incorrectamente como el producto el área de un círculo máximo por la raíz cuadrada de esta área. Al tratar del cálculo de áreas de cuadriláteros aparecen de nuevo reglas correctas e incorrectas unas al lado de las otras: el área de un trapecio viene dada por la semisuma de los lados paralelos por la distancia perpendicular entre ellos, y a continuación sigue la regla absurda e incomprensible de que el área de cualquier figura plana se calcula determinando dos de sus lados y multiplicándolos. Hay una regla en el Aryabhatiya que señalan con orgullo los historiadores hindues de la matemática, que es la siguient

    Suma 4 a 100, multiplica por 8 y súmale 62000. El resultado te da aproximadamente la circunferencia de un círculo cuyo diámetro es 20000.

    Aquí se puede ver utilizado el equivalente a 3,1416 como valor de p , lo cual es ciertamente notable, pero se debe recordar que este es el valor utilizado por Ptolomeo. El hecho más probable es que Aryabhata estuviera influenciado en este contexto por sus predecesores griegos viene reforzado por su adopción de la miríada o 10000 unidades como medida del radio de la circunferencia.

    Una parte típica del Aryabhatiya es la que trata de progresiones aritméticas, la cual contiene reglas para calcular la suma de los términos de una progresión, y también para hallar el número de términos de una progresión conocido el primer término, la diferencia y la suma de todos los términos. La primera de estas reglas había sido ya conocida mucho antes por otros escritores, la segunda aparece formulada en una forma tan curiosa como complicada

    Multiplíquese la suma de la progresión por ocho veces la diferencia común, súmese el cuadrado de la diferencia entre el doble del primer término y la diferencia común; tomese la raíz cuadrada de este número, restese el doble del primer término, divídase por la diferencia común, añádase uno y divídase por dos. El resultado será igual al número de términos.

    Aquí, al igual que a todo lo largo del Araybhatiya, no se da ninguna motivación ni justificación para esta regla. Probablemente fue obtenida resolviendo una ecuación de segundo grado, cuyo conocimiento podría muy bien haber venido de Mesopotamia o Grecia. A continuación da unos problemas realmente complicados sobre interés compuesto (es decir, sobre progresiones geométricas), el autor del libro trata, en un lenguaje muy florido, del problema bien elemental de calcular el cuarto proporcional a tres números dados:

    En la regla de tres multiplica el fruto por el deseo y divide por la medida. El resultado será el fruto del deseo.

Esta es, desde luego, la regla bien conocida que nos dice que si , entonces , donde a es ‘la medida’, b ‘el fruto’, c ‘el deseo’ y x ‘el fruto del deseo’.

    Realmente puede decirse que la obra de Aryabhata es un ‘popurrí’ de o sencillo y lo complicado, a la vez que de lo correcto y lo incorrecto. El sabio árabe Al-Biruni caracterizaba, medio milenio más tarde, la matemática hindú como una mezcla de vulgares guijarros y valiosos cristales, descripción que cuadra perfectamente con el Araybhatiya.

El sistema de numeración hindú

    La segunda mitad del Aryabhatiya trata de la medida y cálculo de tiempos y de trigonometría esférica, y aquí es donde se encuentra un elemento nuevo que iba a dejar una huella permanente en la matemática de las generaciones futuras: el sistema de numeración posicional decimal. No se sabe exactamente deque manera efectuaba los cálculos Aryabhata, pero en su afirmación de que "de un lugar a otro, cada uno es diez veces el que le precede", hay una clara indicación de que en su mente estaba de una manera consciente la aplicación del principio posicional. La idea de "valor local o posicional" había sido ya un elemento absolutamente esencial del sistema de numeración babilónico, y quizá lo que los hindues hicieron fue darse cuenta de que esta idea era aplicable también al sistema de notación decimal para los números enteros, que ya se estaba usando en la India. El desarrollo histórico de las notaciones numéricas en la India parece haber seguido más o menos los mismos pasos que en Grecia; las inscripciones procedentes del período cultural más primitivo de Mohenjo Daro muestran al principio un sistema consistente simplemente en el uso de palotes verticales reunidos en grupos, pero hacia la época de Asoka (siglo III a.C.) se usaba ya un sistema parecido al herodiánico. En este esquema nuevo se seguía usando el principio repetitivo, pero se adoptaron a la vez nuevos símbolos para unidades de orden superior, concretamente para cuatro, diez, veinte y cien. Esta manera de escribir los números, llamada escritura Karosthi, fue evolucionando gradualmente para dar lugar a otro sistema de notación, conocido como el de los caracteres Brahmi, que recuerda mucho al cifrado alfabético del sistema jónico griego; cabe preguntarse, por lo tanto, si el hecho de que el cambio tuviera lugar en la India poco después del período durante el cual los numerales herodiánicos se vieron desplazados por los jónicos en Gracia fue una simple coincidencia o no.

    De los numerales cifrados del sistema Brahmi a nuestra notación moderna para los números naturales hay que superar únicamente dos breves etapas; la primera consiste en reconocer que utilizando estrictamente el principio posicional, las cifras para representar los nueve primeros números pueden servir también como cifras para los correspondientes múltiplos de diez o, por la misma razón, como cifras para representar los múltiplos correspondientes de cualquier potencia de diez. El reconocer este hecho básico había convertido de golpe en superfluas todas las cifras Brahmi, salvo las nueve primeras. No se sabe cuándo se produjo exactamente la reducción a nueve cifras y, de hecho, lo más probable es que la transición a la notación más ‘económica’ se hiciera de una manera gradual. Parece seguro que este importante cambio tuvo lugar en la india, pero los orígenes de la inspiración para llevarlo a cabo son, en cambio, poco claros. Posiblemente los llamados numerales hindues fueran el resultado de un desarrollo interno únicamente; quizá se desarrollaron primero en el contexto de los intercambios occidentales de la India con Persia, en cambio, ya que el conocimiento de la notación posicional babilónica pudo haber conducido a una modificación del sistema Brahmi. Es posible también que el nuevo sistema tuviera sus orígenes en los contactos hacia en Este, con China, donde el sistema pseudoposicional de barras pudiera haber sugerido la reducción a nueve cifras. Hay incluso una teoría que afirma que esta reducción pudo haber tenido lugar por primera vez en Alejandría, dentro del sistema alfabético griego, y que esta idea debió propagarse más tarde a la India. Durante el período alejandrino tardío, la costumbre griega de escribir las fracciones usuales puniendo en numerados debajo del denominador se invirtió, y ésta es precisamente la forma que adoptaron los hindues, sin la barra que los separa. Desgraciadamente los hindues no aplicaron el nuevo sistema de numeración para los enteros al campo de las fracciones decimales, y así se perdió la ventaja potencial más importante del cambio de notación de tipo jónico.

    La referencia especifica más antigua a los numerales hindues data del 662 y se encuentra en los escritos de Severo Sebokt, un obispo sirio. Como consecuencia del cierre de las escuelas filosóficas atenienses ordenado por Justiniano, algunos de los sabios que enseñaban en ellas se trasladaron a Siria, donde establecieron varios centros en los que se cultivaba el saber griego, y Sebokt debió sentirse evidentemente molesto por el desprecio que mostraban algunos de ellos por la cultura y por el saber no griegos, y consideró necesario por lo tanto el recordar a aquellos que ‘hablaban griego’ que ‘hay otros que también saben algo’. Y para ilustrar este punto llama la atención sobre los hindues y sus ‘sutiles descubrimientos en astronomía’ y especialmente ‘sus valiosos métodos de cálculo y sus operaciones que sobrepasan toda descripción. Quisiera decir solamente que sus cálculos se hacen por medio de nueve signos’. Se sabe también que por aquella época los numerales hindues ya se habían estado usando durante bastante tiempo.

El símbolo para el cero

    Hay que hacer notar que la referencia a nueve símbolos y no a diez implica evidentemente que los hindues no habían superado aún la segunda etapa en la transición hacia el sistema de numeración moderno, es decir, la que consiste en la introducción de una notación especial para una posición que falta o, lo que es lo mismo, de un símbolo para el cero. En la historia de la matemática se presentan muchas situaciones anómalas, y no es precisamente la menor la que revela el hecho de que "la primera aparición indudable del cero en la India es en una inscripción del año 876", es decir, más de dos siglos después de la primera referencia conocida a los otros nueve numerales. No esta demostrado ni siquiera que el número cero (en tanto que idea conceptualmente distinta de un símbolo para una posición vacía) surgiera al mismo tiempo que los otros numerales hindues. Es muy posible, en cambio, que el cero tuviera su origen en Alejandría, y que desde allí se propagase a la India después de que el sistema decimal posicional se hubiera consolidado allí.

    Con la introducción del decimo numeral en el sistema de numeración hindú para representar el cero, en la forma de un redondo huevo de oca, quedaba completo el moderno sistema de numeración para los enteros. Aunque las formas hindues medievales de las diez cifras numerales son muy diferentes a las que usamos hoy en día, los principios teóricos del sistema quedaban ya definitivamente establecidos. El nuevo sistema de numeración que llamamos usualmente ‘sistema hindú’ no consiste más que en una nueva combinación de tres principios básicos, todos ellos con un origen mucha más antigua:

    Ninguno de estos tres principios se debía, como se ha dicho, originalmente a los hindues, pero lo que si se debió a ellos fue probablemente la idea de reunir por primera vez los tres para construir el sistema de numeración moderno.

La trigonometría hindú

    El desarrollo de nuestro sistema de notación para los números naturales fue sin duda una de las dos contribuciones más importantes de la India en la historia de la matemática. La otra consistió en la introducción de lo equivalente a la función seno en trigonometría, para reemplazar las tablas de cuerdas griegas; las tablas más antiguas de la relación seno que han llegado hasta nosotros son las que figuran en los Siddhantas y en el Aryabhatiya, donde se dan los senos de los ángulos menores o iguales que 90 para 24 intervalos angulares iguales a cada uno. Para expresar la longitud del arco y la del seno en términos de la misma unidad, se tomaba como radio 3,438 unidades y la circunferencia correspondiente como 360·60 = 21600 unidades; estos valores implican un valor de p que coincide con el de Ptolomeo hasta la cuarta cifra significativa, pero Aryabhata utiliza en otros contextos el valor para p, valor que aparece tan frecuentemente en la India que se le conoce a veces como ‘el valor hindú para p’

Para el seno de se toma exactamente el número de unidades que contiene el arco, es decir ; traducido a lenguaje moderno, el seno de un ángulo pequeño es igual casi igual a la medida del ángulo en radianes, que es justamente lo que hacían los hindues. Para las entradas restantes de la tabla de senos utilizaban una fórmula de recursión que puede expresarse de la forma siguiente: si designamos por S_n en n-ésimo seno en la sucesión que va de n = 1 a n = 24, y si la suma de los n primeros senos es R_n, entonces . A partir de esta regla uno puede deducir fácilmente que sen = 449, sen =671, sen 15º=890, y así hasta sen 90º=3438, que son los valores que aparecen en las tablas de los Siddhantas y del Aryabhatiya. Las tablas incluyen además los valores de lo que se conoce como seno verso de un ángulo, es decir, de 1 – cos q en forma trigonométrica moderna, o de 3438·(1 – cos q) en forma trigonométrica hindú, desde sen vers. =7 a sen ves. 90º=3438. Si se divide los números que figuran en la tabla por 3438 se encuentran resultados que se aproximan mucho a los valores correspondientes en las tablas trigonométricas modernas.

El método de multiplicación hindú

    La trigonometría hindú fue evidentemente una herramienta para la astronomía tan útil como precisa. El cómo llegaron los hindues a resultados tales como la forma de recursión para los senos que se acaba de mencionar, es desconocido, pero sí se ha sugerido que tales reglas pudieron venir motivadas por un desarrollo intuitivo o empírico del cálculo con ecuaciones en diferencias y de la práctica de la interpolación; de hecho se suele caracterizar frecuentemente a la matemática hindú en general como ‘intuitiva’, para ponerla en contraste con el severo racionalismo griego. A pesar de que es evidente la influencia griega en la trigonometría hindú, los hindues parecen no haber tenido ocasión de adoptar la geometría griega, o bien no aprovecharon la ocasión, interesados como estaban únicamente en reglas de medición sencillas. Hay muy escasa evidencia en la India del estudio de problemas geométricos que podríamos llama clásicos, o de curvas distintas a la circunferencia, e incluso las secciones cónicas parecen haber sido ignoradas por los hindues, lo mismo que por los chinos. En cambio a los matemáticos hindues les fascinaban las cuestiones numéricas, ya tuvieran que ver solamente con las operaciones aritméticas usuales o con la resolución de ecuaciones determinadas e indeterminadas. La suma y la multiplicación se hacían en la India casi de la misma manera como las hacemos hoy, excepto en que los hindues parecen haber preferido al principio escribir los números con las unidades de orden menor a la izquierda, y procedían por lo tanto de izquierda a derecha, utilizando pequeñas pizarras cubiertas con pintura blanca no permanente que se iba quitando al escribir sobre ellas, o bien una tabla cubierta de arena o harina. Ente los métodos utilizados para multiplicar había uno que se conoce con varios nombres distintos: multiplicación en gelosia o multiplicación en celdillas o en cuadrilátero. Se recurrirá a dos ejemplos a fin de ilustrar el método.

    En el primero de ellos el numero 456 aparece multiplicado por 34; el multiplicando esta escrito en la parte superior del retículo y el multiplicador a la izquierda, y los productos parciales ocupan las celdas cuadradas, de manera que al sumar los dígitos en diagonal de arriba a la izquierda abajo a la derecha se obtiene el producto 15.504 que aparece en la parte inferior y derecha el rectángulo. En la otra figura se indica que los datos pueden ser ubicados también de otras maneras; aquí se ve el multiplicando 537 situado de nuevo en la parte superior y el multiplicador 24 en cambio a la derecha, mientras que el producto 12.888 se lee por la izquierda y la parte inferior del rectángulo. Son posibles aún otras modificaciones de detalle, pero, en su principio fundamental, la multiplicación por gelosia es la misma que la nuestra, desde luego, y la distribución de los dígitos por celdillas no es más que un hábil recurso para evitar el trabajo mental de ‘llevar’ de un lugar al siguiente las decenas que van a pareciendo en los productos parciales; la única operación de ‘llevar’ que no se evita en este método es la que resulta al sumar al final los productos parciales diagonalmente.

La división larga

    No se sabe donde tuvo su origen el método de multiplicación por gelosia, pero parece lo más probable que fuera en la India, puesto que allí se utilizaba ya en el siglo XII como mínimo, y de la india parece ser que se extendió a China y Arabia. De los árabes pasó a Italia durante los siglos XIV y XV, y aquí fue donde recibió en nombre de gelosia debido a la semejanza del diagrama con las rejillas de madera que adornaban y protegían las ventanas en Venecia y otras ciudades italianas. Los árabes, y a través de ellos más tarde los europeos, adoptaron la mayor parte de los artificios aritméticos de los hindues, y por lo tanto es muy probable que también provenga de la India el método de ‘división larga’ conocido como el método de la galera, por su semejanza con un barco con las velas desplegadas. Supóngase la división de 44977 por 382; primero aparece hecha la división por el método moderno, y luego por el método de la galera. Este segundo se parece mucho al primero, excepto en que el dividendo aparece en el medio, ya que las restas se hacen cancelando los dígitos y poniendo las diferencias encima de los minuendos y no debajo. Así pues, el resto final aparece en la parte superior derecha y no en la parte inferior.

    El proceso reproducido es fácil de seguir si tenemos en cuenta que los dígitos de un substraendo dado, como el 2674, o de una diferencia dada como la 2957, no figuran todos ellos necesariamente en una misma fila, y que los substraendos aparecen escritos por debajo de la linea central y las diferencias por encima; por otra parte la posición en una columna es importante, pero no la posición en una fila. El cálculo de raíces probablemente siguió un esquema análogo al de la galera, ligado con la época posterior en la forma del triángulo de Pascal, pero los matemáticos hindues no daban nunca las explicaciones de sus cálculos ni demostraciones de sus reglas; es posible que las influencias china o babilónica jugaran un papel importante en el proceso de la evolución del cálculo de raíces. Se dice que ‘la prueba de los nueve’ es un invento hindú, pero parece que los griegos ya conocían esta propiedad mucho antes, aunque no la usaron de una manera general, y que este método se popularizó solamente con los árabes hacia el siglo XI. 

Brahmagupta

    Los últimos párrafos pueden dejar la impresión injustificada de que en la matemática hindú hubo un alto grado de uniformidad, puesto que varias veces se ha calificado diversos desarrollos simplemente como ‘de origen hindú’, sin especificar el período al que corresponden. El problema esta precisamente en que la cronología hindú es muy insegura. Por ejemplo, el material que aparece en el importante manuscrito de Bakshali, que contiene una aritmética anónima, data, según algunos historiadores, del siglo III o IV, según otros, del siglo VI; según otro, del siglo VIII o IX o más tarde aún, y hay incluso opiniones que mantienen que puede son ser siquiera de origen hindú. Se ha situado la obra de Aryabhata alrededor del año 500, pero la fecha no es segura, ya que hubo dos matemáticos con ese nombre y no se puede atribuir con seguridad los resultados al más viejo. La matemática hindú presenta problemas históricos más difíciles de resolver que la griega, debido a que los autores hindues raramente mencionan a sus predecesores, a la vez que muestran una sorprendente independencia en sus planteamientos matemáticos. Así ocurre, por ejemplo, que Brahmagupta, que vivió en la India central algo más de un siglo después que Aryabhata, tiene muy poco que ver con su antecesor que había vivido en la región oriental de la India. Brahmagupta menciona dos valores de p, el valor práctico 3 y el valor exacto, pero no menciona en cambio el valor más aproximado de Aryabhata, y en la trigonometría que incluye su obra más conocida, el Brahmasphuta Siddhanta, adopta como radio del circulo el valor 3270 en vez del 3438 de Aryabhata. En un aspecto al menos sí se parece a su antecesor, y es en la mezcla indiscriminada de resultados correctos e incorrectos. Brahmagupta calcula el ‘área bruta’ de un triángulo isósceles multiplicando la mitad de la base por uno de los lados iguales; para el triangulo escaleno de base 14 y lados 13 y 15 calcula el ‘área bruta’ multiplicando la mitad de la base por la media aritmética de los otros dos lados. En cambio, para hallar en ‘área exacta’ utiliza la fórmula de Arquímedes–Herón. Para el radio de la circunferencia circunscrita a un triángulo da lo equivalente al resultado trigonométrico correcto , pero esto no es más que una reformulación del resultado conocido y por Ptolomeo en su lenguaje de cuerdas. El resultado quizá más bello de Brahmagupta es su generalización de la ‘formula de Herón’ para calcular el área de un cuadrilátero; esta fórmula, donde a, b, c, d son los lados del cuadrilátero y s es el semiperímetro, aún lleva su nombre, pero la gloria de este descubrimiento queda un tanto empañada por su fracaso en darse cuenta de que tal fórmula sólo es correcta en el caso de un cuadrilátero cíclico. La fórmula correcta para un cuadrilátero arbitrario es ,donde a es la semisuma de dos ángulos opuestos en el cuadrilátero. Brahmagupta da también como regla para hallar el área bruta de un cuadrilátero la fórmula prehelénica que consiste en multiplicar las medias aritméticas de los dos pares de lados opuestos.

La fórmula de Brahmagupta

    Las contribuciones de Brahmagupta al álgebra son mucho más importantes que sus reglas para el cálculo de áreas, ya que se encuentran aquí soluciones generales de ecuaciones cuadráticas incluyendo las dos raíces aún en casos en que una de ellas es negativa, de hecho, la primera vez que aparece sistematizada la aritmética de los números negativos y del cero es en la obra de Brahmagupta. Reglas esencialmente equivalentes a las que controlan las operaciones aritméticas con magnitudes negativas aparecían ya en los teoremas del álgebra geométrica de los griegos, pero referidas siempre a propiedades de la operación de restar, tales como, por ejemplo, (a – b)·(c – d)=ac + bd – ad –bc, pero a los hindues corresponde el mérito de haber dado un paso decisivo al convertir estas reglasen reglas ‘propiamente numéricas’ acerca de los números positivos y negativos. Además, aunque los griegos tuvieron un concepto de la nada y el vacío, no lo interpretaron nunca como un número, tal como lo hicieron los hindues. Sin embargo es justamente en este contexto donde Brahmagupta vuelve a estropear un poco las cosas al afirmar que 0:0=0, mientras que en la cuestión clave acerca del valor del cuociente a:0, para a¹ 0, simplemente no se pronuncia:

    Positivo dividido por positivo, o negativo dividido por negativo, es afirmativo (+ : + = - : - = +). Cifra dividido por cifra es nada (0 : 0 = 0). Positivo dividido por negativo es negativo (+ : - = -). Negativo dividido por afirmativo es negativo (- : + = -). Positivo o negativo dividido por cifra es una fracción que la tiene por denominados (a:0=)

    Hay que decir también que los hindues consideraban igualmente como números las raíces irracionales de otros números, cosa que no hicieron nunca, desde luego, los griegos. Este paso supuso una ayuda enorme para el álgebra, y los matemáticos hindues han sido muy elogiados por decidirse a adoptar esta medida, pero hay que recordar, no obstante, que en este caso la contribución hindú fue el resultado de una inconsistencia lógica más que de una profundidad matemática. Ya se ha visto que los matemáticos hindues carecieron de una distinción clara entre los resultados exactos y los inexactos, y en consecuencia era lo más natural que no tomaran en consideración seriamente las diferencias profundas entre las magnitudes conmensurables y las inconmensurables. Para ellos no había ningún impedimento en aceptar los números irracionales, y las generaciones posteriores siguieron su mismo camino de una manera alegre e ingenua, hasta que en el siglo XIX consiguieron al fin los matemáticos fundamentar el sistema de los números reales sobre una base solida.

La matemática hindú consistió, como se ha dicho, de una mezcla de bueno y malo, pero parte de lo bueno fue extraordinariamente bueno, y a este respecto Brahmagupta merece que no se le regateen elogios. El álgebra hindú es notable especialmente por su desarrollo del análisis indeterminado, al que Brahmagupta mismo hizo varias contribuciones; para mencionar solo una, aparece en su obra una regla ara la formación de ternas pitagóricas expresada en la forma, aunque ésta sea solamente una forma modificada de la vieja regla babilónica que Brahmagupta pudo muy bien conocer. La fórmula de Brahmagupta para el área de cuadriláteros, comentada más arriba, la utilizaba junto con las fórmulas y para las diagonales, para hallar cuadriláteros cuyos lados, diagonales y áreas fueran todos ellos números racionales. Entre estos cuadriláteros se construye el que tiene por lados a=52, b=25, c=39 y d=60,y por diagonales 63 y 56. Brahmagupta da como ‘área bruta’ de este cuadrilátero pese al hecho de que en este caso su fórmula da el área exacta 1.764.

La teoría de las ecuaciones indeterminadas

    Es evidente que Brahmagupta amaba la matemática por sí misma, al igual que muchos de sus paisanos, ya que ningún ingeniero con mentalidad práctica se hubiera planteado muchas cuestiones tales como las que se planteaba Brahmagupta cobre los cuadriláteros. Cabe admirar aún más su actitud matemática al descubrir que él fue el primero que dio con una solución general de la ecuación lineal diofántica lineal ax + by = c, con a, b y c enteros. Para que esta ecuación tenga soluciones enteras, en máximo común divisor entre a y b debe dividir a c, y Brahmagupta sabía que si a y b eran primos entre sí, entonces todas las soluciones de la ecuación vienen dadas por las fórmulas x = p + mb, y y = q – ma, donde m es un entero arbitrario. Brahmagupta estudió también la ecuación diofántica cuadrática x² = 1 + py², que recibe erróneamente el nombre de John Pell (1611-1685) y que apareció por primera vez en el problema de los bueyes de Arquímedes. Esta ecuación de Pell fue resuelta en algunos caso particulares por el matemático Bhaskara (1114-1185), hindú como Brahmagupta.

    Es relamente notable el mérito de Brahmagupta de dar todas las soluciones enteras de una ecuación diofántica lineal, mientras que Diofanto se había contentado con dar una única solución particular de una ecuación indeterminada. Dado que Brahmagupta utiliza en algunos los mismos ejemplos que Diofanto, se puede ver de nuevo reforzada la evidencia de una influencia griega en la India, o bién la posibilidad de que ambos hicieran uso de una fuente común, verosímilmente de la antigua Babilonia. Un detalle interesante a subrayar es el que el álgebra de Brahmagupta es sincopada, como la de Diofanto: la suma se indica por una simple yuxtaposición, la resta colocando un punto sobre el sustraendo, y la división escribiendo el divisor debajo del dividendo como en nuestra notación para las fracciones, pero sin la barra separadora. Las operaciones de multiplicación y de ‘evolución’ (extracción de raíces), así como las cantidades incógnitas vienen representadas por medio de abreviaturas de las palabras correspondientes.

Bhaskara

    La India produjo un cierto número de matemáticos medievales tardíos, pero sólo se analizará la obra de uno de ellos, Bhaskara, el matemático más importante del siglo XII y el que completo algunos huecos en la obra de Brahmagupta, como hizo al dar una solución de la ecuación de Pell y al enfrentarse al problema de la división por cero. Aritóteles ya había hecho orservar que no hay ninguna razón en la que un número tal como cuatro exceda al número cero, pero lo cierto es que la aritmética del cero no formó parte de la matemática griega, y Brahmagupta no sa había pronunciado sobre la división de un número distinto de cero por cero. Así pues, la primera vez que nos encontramos con la afirmación de que tal cuociente es infinito es en el VijaGanita de Bhaskara.

    Proposición: Dividendo 3. Divisor 0. Cociente la fracción . Esta fracción de la que el denominador es cifra se llama cantidad infinita. En esta cantidad que consiste en lo que tenga cifra como divisor, no hay alteración posible por mucho que se añada o se extraiga, lo mismo que no hay cambio en Dios infinito e inmutable

    Esta proposición suena muy prometedora, pero inmediatamente a continuación se revela una falta de entendimiento claro de la situación por parte de Bhaskara al afirmar que

    Bhaskara fue el último matemático medieval importante de la india, y su obra representa la culminación de las contribuciones hindues anteriores a su época. En su tratado más conocido, el Lilavati, reunió Bhaskara problemas diversos procedentes de Brahmagupta y de otros matemáticos, añadiéndoles nuevas observaciones de su propia cosecha. El título mismo del libro puede ser tomado como un buen ejemplo de la calidad desigual del pensamiento hindú, al menos desde un punto de vista occidental, ya que el nombre al que se reduce el título es precisamente el de la hija de Bhaskara que, según la leyenda, perdió la oportunidad de casarse debido a la confianza de su padre en sus predicciones astrológicas. Bhaskara había calculado que su hija sólo podría casarse en condiciones favorables a una hora concreta de un determinado día; el día que había de ser su afortunado casamiento la impaciente muchacha se encontraba observando atentamente la clepsidra (reloj de agua), inclinada sobre ella, mientras se iba acercando la hora de su boda, cuando de pronto cayo al agua inadvertidamente una de las perlas de su tocado, obstruyendo así la salida del agua de la clepsidra. Como era de esperar, antes de que se advirtiera el desgraciado accidente había transcurrido ya la hora propicia, y el padre, para tratar de consolar a la desdichada muchacha, puso su nombre al libro comentado.

El Lilavati

    El Lilavati, lo mismo que el VijaGanita, contiene numerosos problemas que tratan los problemas favoritos de los hindues: ecuaciones lineales y cuadráticas, tanto determinadas como indeterminadas, siendo problemas de medida de áreas, progresiones aritméticas y geométricas, raíces, ternas pitagóricas u otros. El problema del bambú roto popular también en China e incluido ya por Brahmagupta, aparece aquí en la forma siguiente. Si un bambú de 32 codos de altura ha sido roto por el viento de tal manera que su extremo superior queda apoyado en el suelo a una distancia de 16 codos de su base, ¿a qué altura sobre el suelo se produjo la fractura? Otro problema en que se utiliza el teorema de Pitágoras es el siguiente: Un pavo real se encuentra posado en el extremo de un poste vertical en cuya base hay un agujero de culebra; observando la culebra a una distancia del pie del poste igual a tres veces su altura, el pavo real se lanza sobre ella en linea recta mientras la culebra intenta ganar su agujero. Si el pavo real captura a la culebra cuando ambos han recorrido la misma distancia ¿a cuántos codos e distancia del agujero se produjo la captura?

    Estos dos problemas ilustran muy bien el carácter heterogéneo del Lilavati, puesto que, a pesar de su aparente semejanza y del hecho de que se pida una única solución, uno de los problemas es determinado y el otro indeterminado. Al tratar de círculos y esferas, no consigue tampoco el Lilavati distinguir entre resultados exactos y sólo aproximados; el área del círculo, por ejemplo, se expresa correctamente como un cuarto de la circunferencia por el diámetro, y el volumen de la esfera como un sexto del producto del área por el diámetro, pero en cambio Bhaskara sugiere como razón de la circunferencia al diámetro o bien o bien el ‘valor bruto’ de . El primero es equivalente a la razón que menciona, pero no utiliza, Aryabhata, pero nada nos hace sospechar, ni en Bhaskara ni en ningún otro matemático hindú, que fueran conscientes de que todas las razones propuestas eran sólo aproximaciones. Sin embargo, Bhaskara se apresura a condenar severamente a sus predecesores por haber utilizado las fórmulas de Brahmagupta para el área y las diagonales de un cuadrilátero en general, basándose en su acertada observación de que un cuadrilátero no queda inequívocamente determinado por sus lados. Parece evidente, en cambio, que no se dio cuenta de que las fórmulas en cuestión si que son correctas en todos los cuadriláteros cíclicos.

    Ya se ha dicho que muchos de los problemas de Bhaskara que aparecen en el Lilavati y en el VijaGanita provienen de fuentes anteriores, y por lo tanto no constituye una sorpresa el ver al autor mostrando un gran dominio de la situación a tratar problemas de análisis indeterminado. Por lo que se refiere a la ecuación de Pell x² = 1 + py², de la que ya se había ocupado anteriormente Brahmagupta, Bhaskara da soluciones particulares para los cinco valores del parámetro p=8, 11, 32, 61 y 67; para la ecuación x² = 1 + py², por ejemplo, da la solución x=1.776.319.049, y = 22.615.390. Esto constituye sin duda una verdadera hazaña de cálculo, y sólo comprobar que la solución es correcta pone a prueba la paciencia.

    Los libros de Bhaskara están llenos, por otra parte, de ejemplos variados de problemas diofánticos.

Ramanujan

    Bhaskara murió a finales del siglo XII, y durante varios siglos a partir de esa fecha fueron muy pocos los matemáticos de estatura comparable que aparecieron en la India. Es interesante, sin embargo, hacer notar aquí precisamente que Srinivasa Ramanujan (1887-1920) tenía la misma habilidad manipuladora en aritmética y en álgebra que se ha encontrado en Bhaskara. En la obra de Ramanujan nos encontramos también con el aspecto desorganizado, la potencia del razonamiento intuitivo y el desprecio por la geometría que aparecían de manera relevante en sus predecesores. Aunque es posible que estas características se desarrollaran quizá en Ramanujan de una manera especial por su formación autodidacta, no se puede por menos que observar lo sorprendentemente distinto que fue el desarrollo de la matemática en la India de cómo lo había sido en Grecia. Incluso cuando los hindues adoptaron conocimientos tomados de sus vecinos, reestructuraron estos materiales a su peculiar manera. A pesar de que sus actitudes e intereses estaban más próximas a las de los chinos que a las de los griegos, no compartieron la fascinación que sentían estos últimos por los métodos exactos de aproximación, tales como los que conducen al método de Horner, y a pesar también de que compartían con los mesopotámicos un punto de vista preponderantemente algebraico, tendieron a evitar el sistema de numeración sexagesimal en álgebra. En resumen, los eclécticos matemáticos hindues adoptaron y desarrollaron solamente aquellos aspectos que les atraían y, desde un cierto punto de vista al menos, puede decirse que fue desafortunado el hecho de que su primer amor haya sido la teoría de números en general y al análisis indeterminado en particular, porque el crecimiento y desarrollo posterior de la matemática no iba a surgir de estos campos, la geometría analítica y el cálculo infinitesimal tuvo raíces griegas y no hindues, y el álgebra europea moderna provenía más de los países más bien que de la India. Hay sin embargo, en la matemática moderna al menos dos cosas lo que debe la matemática a la India en su desarrollo, lo mismo que a tantos otros países. La trigonometría de la función seno proviene verosímilmente de la India, y nuestro sistema de numeración actual para los enteros recibe con toda propiedad el nombre de sistema Hindú-Árabe para indicar su probable origen en la India y su divulgación a través de Arabia.