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El Paraíso de las Matemáticas - ~ 1 es lo mismo que -1. Solución
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Desmayos de la razón (III). Solución
1 es lo mismo que -1

    Muchísima gente ha contestado esencialmente que el fallo es que el número 1 tiene dos raíces: 1 y -1. Es corriente en matemáticas usar el símbolo de raíz para denotar, de entre las dos raíces de un número, la que es positiva. Está también extendido el escribir, por ejemplo, "raíz de 4 igual a más/menos dos" para indicar que hay dos números que al cuadrado dan 4: el 2 y el -2. Si tu contestación estaba relacionada con esto, por favor vuelve a buscar el error sabiendo que cuando escribo el símbolo de raíz con un número positivo debajo me estoy refiriendo a la raíz positiva de ese número. El fallo no está en la primera igualdad. El fallo está en la tercera igualdad, que es simplemente falsa. El engaño está en que parece que se usa la propiedad distributiva de las raíces, que no es cierta en general a menos que se trate de números positivos. Como dice Jorge Antonio en su mensaje,

    "Hace poco, mi profesor de variable compleja hizo un truco para engañarnos de manera parecida, la cuestión es que la factorización que nosotros estamos acostumbrados a hacer en números reales en las raíces sólo funciona cuando se trata de números positivos, (estoy hablando de la tercera igualdad). Este principio de que la raíz de un producto es el producto de las raíces de los factores, en efecto sólo funciona cuando los factores son mayores que cero"

    Sin embargo, no es cierto que esta propiedad sólo funcione con números positivos. Antes de decir exactamente cómo puede usarse, quiero aclarar que se puede definir la raíz también para los números complejos (incluyendo a los números negativos). Se sigue teniendo que elegir entre dos posibles, como en el caso real: para cualquier número complejo existen otros dos números complejos distintos que elevados al cuadrado dan el número original, salvo en el caso del cero (para el que sólo hay uno: el cero). La elección más común es tomar la positiva para números positivos; para números negativos, la que tiene parte imaginaria positiva (por ejemplo, ); y para cualquier otro número imaginario, la que tiene parte imaginaria del mismo signo. A la función raíz que resulta se la llama la rama principal de la raíz. Con el acuerdo de que al escribir nos referimos a la rama principal de la raíz de x, es cierto que siempre que el argumento principal de x y el argumento principal de y sumen un número entre - y , sin incluir - (el argumento principal de un número complejo es el ángulo que forma con el eje real, en radianes y tomado siempre desde el número hacia la parte positiva del eje, y que es para los números negativos).Como ocurría en la demostración falsa, no es cierto que , porque la suma de los argumentos de estos dos números es +=2, que no está entre - y . Sin embargo sí es verdad que , y que . Puedes comprobarlo si sabes cuáles la raíz de i (la rama principal, claro).

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